Матрица плотности часто вводится в учебниках как математическое удобство, позволяющее нам описывать квантовые системы, в которых отсутствует некоторый уровень информации.
У меня есть два вопроса относительно матриц плотности.
Во-первых, ясно, что общее чистое состояние принадлежит некоторому гильбертовому пространству . Но какому математическому пространству принадлежат матрицы плотности? Ясно, что выражение неверно, поскольку смешанное состояние невозможно описать в терминах состояния в гильбертовом пространстве. Можем ли мы думать о пространстве всех возможных матриц плотности (данной размерности) как о метрическом пространстве? Обладает ли это пространство топологическими свойствами многообразия?
Во-вторых, можно ли считать матрицу плотности «физической»? Например, если мы возьмем одиночный фотон, описанный в базисе Фока (пренебрегая поляризацией), может ли фундаментальное описание этого фотона когда-либо быть полностью смешанным состоянием ? Или это лишь отражение некоторого невежества со стороны экспериментатора, и в действительности фотон должен описываться чистым состоянием?
Смешанное состояние математически представлено ограниченным положительным оператором трассового класса с единичной трассировкой . . Здесь обозначает комплексное гильбертово пространство системы (может быть несепарабельным). Множество смешанных состояний является выпуклым телом в комплексном линейном пространстве ядерных операторов который является двусторонним -идеал -алгебра ограниченных операторов .
Выпуклая означает, что если то их выпуклая комбинация , т.е. если с , удовлетворяет .
двухсторонний -идеальный означает, что линейные комбинации элементов принадлежат этому пространству (множество есть подпространство), сопряженному элементу остается в этом пространстве и если а также .
Я подчеркиваю, что вместо этого подмножество состояний не является векторным пространством, так как в нем допускаются только выпуклые комбинации.
Экстремальные элементы _ , а именно элементы, которые не могут быть разложены как нетривиальные выпуклые комбинации других элементов, все являются чистыми состояниями. Они имеют форму для некоторого единичного вектора . (Обратите внимание, что, поскольку фазы физически несущественны, операторы однозначно определяют чистые состояния, т.е. до фазы)
Космос и, таким образом, множество допускает по крайней мере три релевантные нормированные топологии, индуцированные соответствующими нормами. Одна стандартная операторская норма а остальные такие:
замкнут по отношению к и, более строго, это полное метрическое пространство относительно расстояния . Когда конечно, три топологии совпадают (хотя нормы не совпадают) как общий результат о конечномерных банаховых пространствах.
Относительно вашего последнего вопроса существует много точек зрения. Я считаю, что матрица плотности физична точно так же, как и чистые состояния. Вопрос о том, заключает ли смешанное состояние своего рода физическое невежество, является спорным, поскольку невозможно провести различие между «классической вероятностью» и «квантовой вероятностью» в квантовой смеси, как только смесь создается. См. мой вопрос Классические и квантовые вероятности в матрицах плотности и, в частности, ответ Любоша Мотла. См. также мой ответ на вопрос «Почему применение вероятности в QM принципиально отличается от применения вероятности в других областях?»
ПРИЛОЖЕНИЕ . В конечной размерности, за исключением тривиального случая где структура пространства состояний изображается шаром Пуанкаре-Блоха как многообразие с краем , имеет структуру, обобщающую структуру многообразия с краем. Стратифицированное пространство . Грубо говоря, это не многообразие, а объединение (римановых) многообразий разной размерности (в зависимости от области значений операторов) и пересечения не гладкие. Когда размерность бесконечно, следует иметь дело с понятием бесконечномерного многообразия, и все становится намного сложнее.
Но какому математическому пространству принадлежат матрицы плотности? Ясно, что выражение неверно, поскольку смешанное состояние невозможно описать в терминах состояния в гильбертовом пространстве.
Ограниченный линейный оператор на имеет следовый класс тогда и только тогда, когда он имеет конечный след, не зависящий от выбора базиса (см. также ядерный оператор ). Матрица плотности - это положительный линейный оператор трассового класса. со следом . Я предполагаю, что является отделимым.
Из теоремы о разложении собственных функций (теорема Гильберта-Шмидта) следует, что она имеет вид , куда являются ненулевыми собственными значениями и , поэтому в этом смысле его можно описать в терминах чистых состояний в гильбертовом пространстве. На самом деле мы могли бы даже определить терминологию так: матрица плотности — это «состояние», а в частном случае — оператор проектирования на линейное подпространство пространства. , это "чистое состояние". Таким образом, мы можем эквивалентно рассматривать чистые состояния как частные случаи матриц плотности, а не обычный способ рассмотрения матриц плотности как обобщение чистых состояний.
Можем ли мы думать о пространстве всех возможных матриц плотности (данной размерности) как о метрическом пространстве?
Да, на самом деле они образуют нормированное векторное пространство со следовой нормой/ядерной нормой. Более того, существует тесно связанное понятие операторов Гильберта-Шмидта, которые образуют гильбертово пространство через скалярное произведение следов.
Обладает ли это пространство топологическими свойствами многообразия?
Я не знаю интересных результатов в этом направлении для матриц плотности, но мне кажется, что я видел подкласс операторов Гильберта-Шмидта, которым была дана структура риманового многообразия на основе скалярного произведения следов, но я не знаю о Детали.
Во-вторых, можно ли считать матрицу плотности «физической»? Например, если мы возьмем одиночный фотон, описанный в базисе Фока (пренебрегая поляризацией), может ли фундаментальное описание этого фотона когда-либо быть полностью смешанным состоянием... Или это только отражение некоторого невежества со стороны экспериментатора? , а реально фотон должен описываться чистым состоянием?
Матрица плотности — отражение невежества. Я не думаю, что это делает его «нефизическим». Являются ли они «нефундаментальными», зависит от того, что вы подразумеваете под «фундаментальными», особенно. в свете того факта, что мы можем рассматривать чистые состояния как частные случаи матриц плотности.
Я просто хотел бы добавить пункт о последнем вопросе:
Во-вторых, можно ли считать матрицу плотности «физической»? Например, если мы возьмем одиночный фотон, описанный в базисе Фока (пренебрегая поляризацией), может ли фундаментальное описание этого фотона когда-либо быть полностью смешанным состоянием ? Или это лишь отражение некоторого невежества со стороны экспериментатора, и в действительности фотон должен описываться чистым состоянием?
Если предположить, что фотон не коррелирован ни с какой другой системой, то смешанное состояние может возникнуть только как следствие экспериментального неведения. Однако существует множество ситуаций, в которых неизбежно возникает смешанное состояние из-за фундаментальной квантовой неопределенности. В частности, если фотон (или любая квантовая система) запутан с другой системой, то состояние одного только фотона обязательно будет смешанным. Например, рассмотрим пару световых мод в состоянии
Когда наблюдатель имеет доступ к обоим режимам, можно разработать измерения, дающие определенные результаты, поскольку глобальная система находится в чистом состоянии. Например, измерение, которое проверяет, всегда ли оба режима имеют одинаковое количество фотонов в каждом отдельном экспериментальном запуске, всегда будет давать ответ «да» со 100% уверенностью.
Кажется, никто не ответил прямо на один из вопросов, поэтому: живет в , с двойник .
В качестве альтернативы, если кеты живут в тогда бюстгальтеры живут в чтобы это объект, который содержит линейные комбинации вида ; обычно а также .
Не всякая линейная комбинация типа может войти так описывает физическое состояние. В фиксированном ортонормированном базисе диагональные элементы являются классическими вероятностями и поэтому должны быть действительными неотрицательными и в сумме , пока сам должен быть эрмитовым.
Матрица плотности — это оператор, улавливающий «классическую неопределенность», я имею в виду неопределенность, возникающую в результате эксперимента. Например, у вас может быть популяция спинов частиц, а вы знаете, что половина этого населения находится в состоянии а вторая половина в . Соответствующий является
В вашем примере оператор плотности представляет, что с вероятностью 50% фотонов 0 (то есть система находится в основном состоянии ) или 1 фотон (состояние ). Это означает, что одно из состояний или же был подготовлен перед экспериментом.
Дэниел Хогг
пользователь199113
Вальтер Моретти
пользователь199113
Вальтер Моретти
Вальтер Моретти
пользователь199113
Вальтер Моретти