Почему это не реализуемая операция на квантовой системе?

Question

Почему это не реализуемая операция на квантовой системе?

эмблема

Позволять $\rho = \begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ , $\rho' = \begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ , $\rho'' = \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ (все операторы плотности).

Рассмотрим физическую операцию $\phi$ такой, что $\phi(\rho) = \rho$ , $\phi(\rho') = \rho'$ , $\phi(\rho'') = \dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}\ 4&2 \\ 2&1 \end{bmatrix}$ .

Почему $\phi$ не реализуемая физическая операция? Он, безусловно, сохраняет след и позитив...

пользователь10851

Каково ваше определение «физической операции»?

Алекс А

Обладаем ли мы какими-либо особыми знаниями о

ϕ

$\phi$ ? является

ϕ

$\phi$ линейный оператор?

эмблема

@AlexA: Да,

ϕ

$\phi$ является линейным оператором.

эмблема

@ChrisWhite: По сути, аффинная карта, которая работает в наборе операторов плотности.

пользователь10001

@wemblem Не могли бы вы отредактировать свой вопрос, чтобы было ясно, о чем вы пытаетесь спросить? В частности, что такое «аффинная карта»? Согласно вашему определению, «физическая операция» должна быть аффинной картой; тогда почему бы вам просто не проверить, является ли карта «аффинной» или нет? (что бы это ни значило)

эмблема

@ user10001: Насколько мне известно, аффинная карта эквивалентна карте, сохраняющей трассировку и положительность. Но, видимо, в данном случае дело в другом. Отсюда смысл этого вопроса.

пользователь10851

Какой источник дает эту эквивалентность? Если вы говорите

ϕ (X) = A X + B

$\phi(X) = AX + B$ для

2 \times 2

$2\times2$ матрицы

A

$A$ и

B

$B$ , то действие на

ρ

$\rho$ и

ρ^{'}

$\rho'$ определяет всю карту, с

A = I

$A = I$ и

B = 0

$B = 0$ , так ясно

ϕ (ρ^{″})

$\phi(\rho'')$ может быть не чем иным, как

ρ^{″}

$\rho''$ .

Дэн Сталке

@wemblem: Как предполагает Норберт в своем ответе ниже, «физические операции» являются полностью положительными, сохраняющими трассировку картами (карты CPTP). Все, что вы можете сделать с состоянием, всегда является картой CPTP, и наоборот, любая карта CPTP может быть физически реализована. Карта в вопросе не CPTP. Я не думаю, что буду использовать здесь фразу «аффинные», поскольку такие карты являются линейными супероператорами.

Ответы (2)

Почему это не реализуемая операция на квантовой системе?

Каково ваше определение «физической операции»?
Обладаем ли мы какими-либо особыми знаниями о $\phi$ ? является $\phi$ линейный оператор?
@AlexA: Да, $\phi$ является линейным оператором.
@ChrisWhite: По сути, аффинная карта, которая работает в наборе операторов плотности.
@wemblem Не могли бы вы отредактировать свой вопрос, чтобы было ясно, о чем вы пытаетесь спросить? В частности, что такое «аффинная карта»? Согласно вашему определению, «физическая операция» должна быть аффинной картой; тогда почему бы вам просто не проверить, является ли карта «аффинной» или нет? (что бы это ни значило)
@ user10001: Насколько мне известно, аффинная карта эквивалентна карте, сохраняющей трассировку и положительность. Но, видимо, в данном случае дело в другом. Отсюда смысл этого вопроса.
Какой источник дает эту эквивалентность? Если вы говорите $\phi(X) = AX + B$ для $2\times2$ матрицы $A$ и $B$ , то действие на $\rho$ и $\rho'$ определяет всю карту, с $A = I$ и $B = 0$ , так ясно $\phi(\rho'')$ может быть не чем иным, как $\rho''$ .
@wemblem: Как предполагает Норберт в своем ответе ниже, «физические операции» являются полностью положительными, сохраняющими трассировку картами (карты CPTP). Все, что вы можете сделать с состоянием, всегда является картой CPTP, и наоборот, любая карта CPTP может быть физически реализована. Карта в вопросе не CPTP. Я не думаю, что буду использовать здесь фразу «аффинные», поскольку такие карты являются линейными супероператорами.

Норберт Шух · Answer 1

Норберт Шух

Ваша карта не может быть полностью положительной. Если применить его к половине максимально запутанного состояния $(|0\rangle|0\rangle+|1\rangle|1\rangle)/\sqrt{2}$ , вы можете легко увидеть, что $\phi(\rho)=\rho$ и $\phi(\rho')=\rho'$ подразумевает, что $\phi(|0\rangle\langle1|) = \alpha |0\rangle\langle1|$ и $\phi(|1\rangle\langle0|) = \alpha^* |1\rangle\langle0|$ чтобы результирующее состояние было положительным (с $|\alpha|\le1$ ). Однако это несовместимо с последним условием.

эмблема

Как представить максимально запутанное состояние в матричной форме?

эмблема

Будет ли это

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ ?

Норберт Шух

Вы должны прочитать некоторые основы квантовой информации ... это

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] / 2

$\left[\begin{matrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\end{matrix}\right]/2$ , и вы хотите подать заявку

ϕ \otimes I

$\phi\otimes I$ , т. е. вы применяете

ϕ

$\phi$ каждому

2 \times 2

$2\times 2$ блокировать по отдельности. Для

ϕ

$\phi$ чтобы быть физической операцией, результирующее состояние должно быть положительным.

эмблема

Так что банально, что

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix} \otimes \dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ +

\frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \otimes \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \otimes \dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}$ "="

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}$ , но как

\frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]

$\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ термин вступает в игру?

эмблема

Извините, я когда-либо имел дело только с полностью положительными картами в том смысле, что транспозиция не может быть полностью положительной.

Qмеханик · Answer 2

Физическая квантовая операция ${\cal E}$ можно описать как карту между набором операторов плотности вида

Е (р) "=" \sum_{к} Е_{к} р Е_{к}^{†}, \sum_{к} Е_{к}^{†} Е_{к} \leq 1,

${\cal E}(\rho) =\sum_k E_k \rho E_k^{\dagger}, \qquad \sum_kE_k^{\dagger}E_k \leq {\bf 1},$

ср. Ссылка 1. Как правильно отмечает Норберт Шух, это подразумевает, что физическая квантовая операция ${\cal E}$ должна быть полностью положительная карта . В этом ответе мы отмечаем, что пример OP не может быть квантовой операцией по еще более элементарной причине: его образ (шара Блоха $B^3$ ) не лежит внутри шара Блоха

р "=" \frac{1}{2} (1 + о), о "=" \sum_{я "=" 1}^{3} {Икс}^{я} о_{я}, \sum_{я "=" 1}^{3} ({Икс}^{я})^{2} \leq 1.

$\rho~=~\frac{1}{2}({\bf 1} + \sigma), \qquad \sigma = \sum_{i=1}^3x^i\sigma_i, \qquad \sum_{i=1}^3(x^i)^2\leq 1.$

Подробно пусть

р^{+} "=" [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}], р^{-} "=" [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}], р_{1} "=" \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}], р_{2} "=" \frac{1}{5} [\begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}],

$\rho^{+} ~=~ \begin{bmatrix}\ 1&0 \\ 0&0 \end{bmatrix}, \quad \rho^{-} ~=~ \begin{bmatrix}\ 0&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}, \quad \rho_{1} ~=~ \frac{1}{2}\begin{bmatrix}\ 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}, \quad \rho_{2} ~=~ \frac{1}{5}\begin{bmatrix}\ 4&2 \\ 2&1 \end{bmatrix},$

с

Е (р^{\pm}) "=" р^{\pm}, Е (р_{1}) "=" р_{2} .

${\cal E}(\rho^{\pm})~=~\rho^{\pm}, \qquad {\cal E}(\rho_1)~=~\rho_2.$

Другими словами, северный и южный полюс сферы Блоха $S^2$ являются неподвижными точками, а чистое состояние $(1,0,0)$ сопоставляется с чистым состоянием $(\frac{4}{5},0,\frac{3}{5})$ в $xz$ самолет.

Из линейности следует, что

Е (1) "=" 1, Е (о_{3}) "=" о_{3}, Е (о_{1}) "=" \frac{4}{5} о_{1} + \frac{3}{5} о_{3} .

${\cal E}({\bf 1})~=~{\bf 1}, \qquad {\cal E}(\sigma_3)~=~\sigma_3, \qquad {\cal E}(\sigma_1)~=~\frac{4}{5}\sigma_1+\frac{3}{5}\sigma_3.$

Другими словами, большой круг в $xz$ плоскость отображается в виде эллипса $xz$ самолет, который половину времени проводит вне (и половину времени внутри) большого круга. Таким образом, образ ${\cal E}$ не лежит внутри шара Блоха, как должно.

Использованная литература:

М. А. Нильсен и И. Л. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, (2011) Раздел 8.2.

Почему это не реализуемая операция на квантовой системе?

эмблема

пользователь10851

Алекс А

эмблема

эмблема

пользователь10001

эмблема

пользователь10851

Дэн Сталке

Ответы (2)

Норберт Шух

эмблема

эмблема

Норберт Шух

эмблема

эмблема

Qмеханик

Точное значение состава ket и bra, например, |ψ⟩⟨ψ||ψ⟩⟨ψ||\psi\rangle\langle\psi|

Матричные элементы линейных операторов - требуется ортонормированный базис?

Нахождение матричного представления супероператора

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Представление счетной матрицы

Представление операторов в квантовой механике

Если B1,B2B1,B2B_1,B_2 и B2,B3B2,B3B_2,B_3 являются MUB, можем ли мы заключить, что либо B1,B3B1,B3B_1,B_3 являются MUB, либо они имеют эквивалентные матрицы Адамара?

Что означает неотрицательность оператора плотности?

Ограничение оператора

Преобразование базиса QM через унитарного оператора