Докажите, что решение уравнения фон Неймана никогда не стабилизируется, если гамильтониан и начальная матрица плотности коммутируют.

Question

Синдун

Учитывая уравнение фон Неймана

\frac{г}{г т} р (т) "=" - я [ЧАС, р (т)] "=" - я е^{- я ЧАС т} [ЧАС, р (0)] е^{я ЧАС т} .

$\frac{d}{dt} \rho(t) = -i [H, \rho(t)] = -i e^{-iHt}[H, \rho(0)]e^{iHt}.$

Если мы знаем, что $[H, \rho(0)] \neq 0$ , как мы докажем в деталях, что решение уравнения фон Неймана никогда не будет стабилизировано, т.е.

\underset{т \to \infty}{лим} \frac{г}{г т} р (т) \neq 0 ?

$\lim_{t\to\infty}\frac{d}{dt} \rho(t) \neq 0~?$

Что вы понимаете под стабильностью?

@yuggib Это означает, что матрица плотности никогда не приблизится к устойчивому состоянию.

Что вы понимаете под стабильностью?
@yuggib Это означает, что матрица плотности никогда не приблизится к устойчивому состоянию.

Qмеханик · Answer 1

Подсказки к вопросу (v2):

Прежде всего заметим, что операторная норма
$\begin{matrix} (1) & | | А | | "=" | | U А | | "=" | | А U | | \end{matrix}$ $\tag{1}||A||~=~||UA||~=~||AU||$ оператора $A$ инвариантно, если мы составим с унитарным оператором $U$ либо слева, либо справа.
Поэтому $\dot{\rho}(t)$ не является нулевым оператором:
$\begin{matrix} (2) & | | \dot{р} (т) | | "=" | | [ЧАС, р (т)] | | \overset{(1)}{"="} | | [ЧАС, р (0)] | | \neq 0. \end{matrix}$ $\tag{2}|| \dot{\rho}(t) || ~=~ || [H, \rho(t)] || ~\stackrel{(1)}{=}~ || [H, \rho(0)] || ~\neq~ 0.$