Методы различения чистых/смешанных состояний и запутанных/разделимых состояний

Позвольте мне сначала ответить на ваши вопросы:

Q1: Нет, частичная транспозиция действует на одну часть подсистемы. Чтобы сделать это более ясным, позвольте мне дать реальное определение критерия: пусть$\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2$— два гильбертовых пространства, то частичное транспонирование во второй системе определяется через

$$^{PT}: \mathcal{B}(\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2)\to \mathcal{B}(\mathcal{H}_1\otimes \mathcal{H}_2);\quad A\otimes B\mapsto A\otimes B^T$$

Очевидно, что это определяет только частичную трассировку состояний продукта, но все остальное делается с помощью линейности. Теперь состояние кубита (!) является запутанным тогда и только тогда, когда частичная трасса на какой-либо подсистеме не является положительной. Однако это эквивалентно утверждению, что состояние запутано тогда и только тогда, когда частичная трасса второй подсистемы неотрицательна, потому что частичная трасса первой подсистемы отображает$A\otimes B\mapsto A^T\otimes B=(A\otimes B^T)^T$, т.е. если составить частичную трассу на второй подсистеме с транспонированием на всю систему, получится частичная трасса на первой подсистеме. Поскольку преобразование оставляет собственные значения инвариантными, если состояние не является положительным при частичном преобразовании какой-либо одной подсистемы, оно останется неположительным при частичном преобразовании другой системы.

Однако позвольте мне подчеркнуть (как вы сказали), что этого критерия недостаточно для доказательства отделимости любой более крупной системы, чем система, состоящая из кубитов и кутритов!

Q2: Чистота и запутанность — это совершенно разные понятия в том смысле, что чистота относится к одной системе, а запутанность — к разделению системы на две части, поэтому я не ожидаю хорошей ранговой характеристики. Однако, если у вас есть чистое состояние$\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$, то вы действительно можете что-то сказать, потому что такое чистое состояние запутано тогда и только тогда, когда его редуцированная матрица плотности чиста — и поскольку это имеет характеристику с матричными рангами, у вас есть такая связь. Однако эта связь ложна для смешанных запутанных/разделимых состояний, и я не знаю, существует ли такая связь.

Приведу краткое доказательство утверждения: пусть$|\psi\rangle =\sum_{i=1}^k \lambda_i |\psi^1_i\rangle|\psi^2_i\rangle$— произвольное смешанное состояние в его разложении Шмидта (заметим, что состояние сепарабельно тогда и только тогда, когда$k=1$. Теперь легко увидеть приведенную матрицу плотности первой подсистемы:

$$\rho_{red}= \sum_{i=1}^k \lambda_i^2 |\psi^1_i\rangle\langle \psi^1_i|$$

который имеет ранг Шмидта$\rho$. Поскольку состояние является чистым тогда и только тогда, когда его матрица плотности имеет ранг один, приведенная матрица плотности является чистой тогда и только тогда, когда состояние было сепарабельным.

Собственно, эта характеристика и есть Упражнение 2.78 в Nielsen&Chuang!

Q3: На самом деле этого не было сказано, но вы говорите, что столкнулись с этим состоянием, которое$\rho$является чистым тогда и только тогда, когда он имеет ранг один. Позвольте мне немного прояснить вопрос: по определению,$\rho$чисто тогда и только тогда, когда оно имеет вид$|\psi\rangle\langle \psi|$для некоторых$\psi$. Очевидно, эта матрица имеет ранг один, так как она имеет один собственный вектор с собственным значением 1 (а именно$|\psi\rangle$- при условии, что состояние нормализовано), а все остальные собственные векторы равны 0 (все остальные состояния ортонормированного базиса, включающие$|\psi\rangle$). С другой стороны, если состояние имеет ранг 1, это означает, что оно имеет только один собственный вектор$|\psi\rangle$с собственным значением 1, а все остальные собственные значения равны нулю. Поскольку матрица плотности положительна, из спектрального разложения следует, что$\rho=|\psi\rangle\langle \psi|$.

Ваша проблема: Позвольте мне сначала указать на несколько неправильных представлений и неправильных обозначений и проблем, связанных с тем, как вы подходите к своей проблеме. Позже я дам решение.

Вы пишете, что$\tau:\mathcal{H}_1\to\mathcal{H}_1$является линейной картой. Это означает, что при данных состояниях$|x_i\rangle$, карта$\tau$на самом деле представлен матрицей, которую я буду обозначать через$T$. Конечно,$TT^*$тогда является положительным оператором, и вы могли бы сказать, что это «состояние», но я не думаю, что можно приписать такое же физическое значение. Затем вы пишете:

$$\sum_{i,j} |\tau x_i \rangle \langle \tau x_j | |y_i\rangle\langle y_j| = \sum_{i,j} |\rho x_i \rangle \langle x_j| |y_i\rangle \langle y_j|$$

Эта строка на самом деле неверна. Вы не можете просто вытащить$\tau$на другую сторону, как вы хотите. Проблема в том, что матрица в правой части, скорее всего, даже не эрмитова, а матрица в правой части определенно эрмитова! Поэтому все, что следует дальше, неверно.

Тем не менее, есть еще одна проблема, которую я хотел бы решить: вы хотите доказать отделимость, показав, что частичное транспонирование положительно. Повторяю еще раз: это невозможно . Если частичное транспонирование не является положительным, состояние запутано, но другое направление (если состояние запутано, частичное транспонирование не является положительным, иначе: если частичное транспонирование положительно, состояние разделимо) не выполняется в размеры, отличные от$2\times 3$и$2\times 2$. Вы иногда говорите о «кубитах», что подразумевает, что$\mathcal{H}_1=\mathcal{H}_2=\mathbb{C}^2$, но вы действительно не уточнили это.

Последняя проблема, и это то, к чему я стремился раньше: вы не указали диапазон индексов вашей суммы в$|\Psi\rangle$. Если это размерность$\mathcal{H}_1$, то утверждение, которое вы хотите доказать, по существу верно, если же это не так, то утверждение, которое вы хотите доказать, совершенно неверно.

Мое решение:

Итак, нам дано состояние$|\Psi_0\rangle=\sum_{i=1}^k |x_i\rangle|y_i\rangle$(обратите внимание, что состояние находится в разложении Шмидта!). Мы хотим сказать кое-что об отделимости государства$|\Psi\rangle=\sum_{i=1}^k |\tau x_i\rangle|y_i\rangle$.

По определению$\tau:\mathcal{H}_1\to \mathcal{H}_1$, т.е. если предположить, что$\{x_i\}_{i=1}^n$является основой, мы можем определить$\tau$с помощью$\tau(x_i)=\sum_j \lambda_{ji} x_j$. Пока ничего нового.

Теперь мы спрашиваем: когда$\Psi$отделимый? Во-первых, обратите внимание, что независимо от$\tau$является,$|\Psi\rangle$по-прежнему чистый, потому что карта определена на уровне чистых состояний, например, нам не всегда придется обращаться к матрицам плотности.

Теперь рассмотрим задачу для разного количества элементов в сумме, т.е. для разных$k$в$|\Psi_0\rangle$. Сначала рассмотрим легкие случаи:

k=1: у нас есть$|\Psi_0\rangle=|x_1\rangle|y_1\rangle$, что означает, что мы начинаем с разделимого состояния. В этом случае,

$$|\Psi\rangle=|\tau x_1\rangle|y_1\rangle=\left(\sum_j \lambda_{1j}|x_j\rangle\right)\otimes |y_1\rangle$$ по-прежнему раздельно. Это совершенно не зависит от $\tau$.

k=n: это означает, что у нас по существу максимально смешанное состояние. Чтобы правильно его нормализовать, мы должны написать$|\Psi_0\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n |x_i\rangle|y_i\rangle$. Теперь мы применяем$\tau$и мы хотим, чтобы результат был разделимым, т.е. мы хотим:

$$|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n |\tau x_i\rangle|y_i\rangle=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n \lambda_{ji}|x_j\rangle\right)|y_i\rangle \stackrel{!}{=} |\phi\rangle|\varphi\rangle$$ для некоторых штатов $|\phi\rangle$и $|\varphi\rangle$. Этот последний бит является критерием разделимости. Теперь заметим, что у нас есть сумма и по полилинейности тензорного произведения единственный способ получить $|\phi\rangle$и $|\varphi\rangle$как указано выше, было бы иметь $|\varphi\rangle=\sum_{i=1}^n |y_i\rangle$, т.е. первая часть должна быть независима от $i$. Это означает $\sum_{j=1}^n \lambda_{ji}|x_j\rangle$должен быть равен некоторому состоянию $|\phi\rangle$независим от $i$, что означает (поскольку $x_i$составляют основу), что $\tau$должен отображать $|x_i\rangle$к $\lambda_i |\phi\rangle$(может быть фактор, зависящий от $i$потому что $\lambda_i|\phi\rangle \otimes |\varphi\rangle = |\phi\rangle \otimes \lambda_i|\varphi\rangle$всегда).

Это означает:$|\Psi\rangle$сепарабельно тогда и только тогда, когда$\tau$отображает любое состояние гильбертова пространства$\mathcal{H}_1$до состояния, пропорционального$|\phi\rangle$. Коэффициент пропорциональности диктуется линейностью — на самом деле, большинство состояний должны быть сопоставлены с нулем. Более того, матрица, представляющая$\tau$должен иметь ранг один, потому что изображение одномерно. Это означает, что матрица$\tau\tau^*$также имеет ранг один тогда и только тогда, когда$|\Psi\rangle$является отделимым.

$1<k<n:$Этот случай находится между двумя крайними случаями, описанными выше. Это более громоздко, потому что (если не ошибаюсь) результат будет таким$|\Psi\rangle$сепарабельно тогда и только тогда, когда$\tau$отображает векторное пространство, охватываемое$\{|x_i\rangle\}_{i=1}^k$в произвольное или фиксированное состояние$|\phi\rangle$, а дополнение, натянутое на$\{|x_i\rangle\}_{k+1}^n$(если предположить, что все$x_i$ортогональны) произвольно.