Почему каждое квантовое состояние не может быть выражено как матрица/оператор плотности?

Заявление юггиба верно. Чтобы представить это в перспективе, я начну с совершенно общей формулировки, а затем покажу, как векторные состояния и операторы плотности вписываются в эту картину. Я не буду пытаться быть математически строгим здесь, но я попытаюсь дать обзор с достаточным количеством ключевых слов и ссылок, чтобы обеспечить дальнейшее изучение.

Состояние = нормированный положительный линейный функционал

Каждое квантовое состояние, чистое или смешанное, может быть представлено нормированным положительным линейным функционалом на алгебре операторов. Такой функционал принимает любой оператор$X$в качестве входных данных и возвращает одно комплексное число$\rho(X)$в качестве вывода с хорошими свойствами, такими как

$$\begin{gather*} \rho(X+Y)=\rho(X)+\rho(Y) \hskip2cm \rho(cX)=c\rho(X) \\ \rho(X^*X)\geq 0 \hskip2cm \rho(1)=1 \end{gather*}$$ для всех операторов$X,Y$и комплексные числа$c$. Я использую звездочку и для комплексного сопряжения, и для сопряженного оператора, и я пишу$1$как для тождественного оператора, так и для номера подразделения. Я также рассматриваю только ограниченные операторы, чтобы операторы были простыми. В принципе этого всегда достаточно, хотя на практике мы обычно используем некоторые неограниченные операторы, потому что это удобно.

«Нормализованный положительный линейный функционал» — длинное название очень простой вещи. У него также есть более короткое название: математики часто называют его просто состоянием ( см. Википедию ), и я буду использовать это имя здесь. В [1] оно называется алгебраическим состоянием , чтобы отличить его от других вариантов употребления слова «состояние».

Состояние называется смешанным , если его можно записать в виде

$$\rho(X) = \lambda_1\rho_1(X)+\lambda_2\rho_2(X)$$ для всех$X\in{\cal A}$, где$\rho_n$являются двумя различными состояниями, и где коэффициенты$\lambda_n$оба являются положительными действительными числами (не нулем). Состояние, которое нельзя записать таким образом, называется чистым .

Это все совершенно общее. Он отлично работает во всем, от системы с одним кубитом до квантовой теории поля. Напротив, использование оператора плотности для представления состояния является математически менее общим. В следующих абзацах рассматривается, как векторные состояния и матрицы плотности вписываются в более общую картину, описанную выше.

Векторные состояния и матрицы плотности/операторы плотности

Теорема GNS утверждает, что состояние всегда может быть реализовано как

$$\rho(\cdots) =\frac{\langle\psi|\cdots|\psi\rangle}{ \langle\psi|\psi\rangle}$$ где$|\psi\rangle$является единственным вектором в некотором представлении алгебры операторов в гильбертовом пространстве. Таким образом всегда можно реализовать даже смешанные состояния. Загвоздка в том, что требуемое представление в гильбертовом пространстве не обязательно неприводимо, и нам может потребоваться переключиться на другие представления в гильбертовом пространстве, чтобы таким образом реализовать различные состояния. Представление алгебры операторов в гильбертовом пространстве неприводимо тогда и только тогда, когда состояние является чистым [2][3].

Штат$\rho$называется нормальным состоянием , если оператор$\hat\rho$( матрица плотности или оператор плотности ) существует такая, что [4]

$$\rho(\cdots) = \text{Trace}(\cdots \hat \rho).$$ Тот факт, что у этого типа состояния есть специальное имя, предполагает, что это особый вид состояния — что не каждое состояние может быть выражено таким образом. Это подтверждается в [5], где контрпримеры описаны Вальтером Моретти. Вопрос Math SE [6] также требует контрпримера, и на него есть ответ.

Заключение

Это все согласуется с заявлением yuggib

не каждое квантовое состояние может быть представлено в заданном (неприводимом) представлении как луч в гильбертовом пространстве (или фактически как матрица плотности).

Однако это утверждение необходимо тщательно разобрать: важны слова « данный» и «нередуцируемый» . Страница Википедии, на которой говорится: «Описание квантового состояния с помощью его матрицы плотности является полностью общей альтернативой ...», может иметь в виду менее общий контекст, такой как конечномерные гильбертовы пространства, или может неявно использовать менее общее определение. из «государства». Это не означает, что страница Википедии неверна; это просто означает, что — как всегда — нам нужно остерегаться двусмысленности.

---

Использованная литература:

[1] Вальтер Моретти (2013), Spectral Theory and Quantum Mechanics (также доступно издание 2018 года; я процитировал версию 2013 года, потому что она была у меня под рукой, когда я писал этот ответ)

[2] Предложение 1.8 в https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036 .

[3] Теорема 14.12 в [1]

[4] https://ncatlab.org/nlab/show/state+on+a+star-алгебра

[5] Есть ли физический смысл в ненормальных состояниях алгебры наблюдаемых? (по физике SE)

[6] «Ненормальное состояние» ( https://math.stackexchange.com/q/2962163 )

---

Приложение: за этот ответ несколько раз проголосовали отрицательно. Я не знаю почему (комментариев не осталось), но я добавляю следующее разъяснение на случай, если это решит проблему:

Если бы вопрос звучал так: «Достаточно ли нормальных состояний для всех практических целей?» тогда ответ наверняка будет да. Но вопрос был не в этом. В вопросе задана причина конкретного математически обоснованного утверждения о состояниях в операторных алгебрах, и именно на это пытается ответить этот ответ.

Я думаю, что это утверждение просто ошибочно. Первая часть выделенной жирным шрифтом цитаты «[Не] каждое квантовое состояние может быть представлено в данном (неприводимом) представлении» является точной, потому что только чистые состояния существуют как лучи в гильбертовом пространстве. На самом деле, весь смысл формулировки матрицы плотности в том, что она допускает более общие состояния, которые не являются чистыми состояниями. Для чистого состояния матрица плотности фактически является оператором проекции на это состояние (таким образом, удовлетворяя$\rho^{2}=\rho$), но матрица плотности также может быть вероятностно взвешенной суммой таких проекционных операторов. (Что именно означают эти смешанные состояния, приводит нас к загадке правильной интерпретации квантовой механики; однако с практической точки зрения они существуют, по крайней мере, в некотором смысле.)

Подозреваю, что автор этой цитаты просто слишком обобщил. Для нечистых состояний нет представления в терминах матрицы плотности$\rho$что удовлетворяет$\rho^{2}=\rho$. Многие педагогические трактовки матрицы плотности начинаются с рассмотрения матриц плотности только для чистых состояний, для которых$\rho^{2}=\rho$является условием согласованности; на самом деле, некоторые методы лечения никогда не касаются даже более общего случая. Однако лично я считаю такой подход глупым, поскольку наиболее важной мотивацией для формулировки квантовой механики с матрицей плотности является именно ее способность обрабатывать смешанные состояния.