Почему квантовая механика использует операторы плотности вместо вероятностных распределений в пространстве состояний?

Всякий раз, когда я пытаюсь разобраться со смешанными состояниями, меня отсылают к понятию операторов плотности. Я думаю, что операторы плотности были введены для представления смешанных состояний в виде операторов.

Из того, что я прочитал, я вижу, что смешанное состояние — это просто набор чистых состояний, где каждому состоянию присваивается некоторая вероятность, которая в сумме равна единице. Иногда смешанное состояние называют ансамблем в смысле статистического ансамбля .

Ограничимся конечномерным случаем. Тот, который мы имеем, когда имеем дело с квантовыми компьютерами. Итак, у нас есть гильбертово пространство.$H(\mathbb{C}^n$), а чистые состояния моделируются лучами в$\mathbb{C}^d$. Таким образом, пространство состояний моделируется проективным пространством$\mathbb{C}P^{n-1}$.

Зафиксируем ортонормированный базис$|e_1\rangle, \dots |e_n\rangle$в$\mathbb{C}^n$и чистое состояние$|\phi\rangle$. Если мы проведем измерение по этой базе, то, согласно правилу Борна, вероятность исхода будет$|e_j\rangle$равно$|\langle e_j|\phi\rangle|^2$.

Если у нас есть смешанное состояние, состоящее из$|\phi_1\rangle,\dots|\phi_k\rangle$с вероятностью$|\phi_i\rangle$существование$p_i$то рассмотрим оператор плотности$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle\phi_i|$. И затем, если мы хотим вычислить вероятность исхода$|e_j\rangle$, мы ( в этом я не уверен ) вычисляем$\langle e_j|\rho|e_j\rangle$что дает нам$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi_i\rangle|^2$.

А меня смущает вышесказанное. Вся эта идея операторов плотности кажется мне излишеством.

Формула$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi\rangle|^2$выглядит точно так же, как предельное распределение (которое является частным случаем проталкиваемой меры). Таким образом, вместо операторов плотности мы должны моделировать смешанные состояния как распределения вероятностей по$\mathbb{C}P^{n-1}$(если кто-то хочет быть более формальным, можно было бы рассмотреть$\sigma$-файл, сгенерированный борелевскими множествами на$\mathbb{C}P^{n-1}$). При таком распределении вероятностей$P$, вероятность того, что$|\phi\rangle$в$S\subset \mathbb{C}P^{n-1}$дан кем-то$\int_S dP(|\phi\rangle)$. В случае дискретной вероятностной меры мы получаем именно статистический ансамбль чистых состояний.

В такой структуре мы могли бы рассмотреть вероятность исхода$|e_j\rangle$как функция чистых состояний. то есть$pm_j:\mathbb{C}P^{n-1}\to[0,1]$дается формулой$pm_j(|\phi\rangle)=|\langle e_j|\phi\rangle|^2$. И с тех пор$pm_j$измерима, ее можно рассматривать как случайную величину, и мы можем делать с ней все причудливые вероятностные штучки. Мы можем интегрировать его$\int_{\mathbb{C}P^{n-1}}|\langle e_j|\phi\rangle|^2dP(|\phi\rangle)$и получить то, что является прямым обобщением того, что мы получили выше (я имею в виду$\sum_ip_i |\langle e_j|\phi_i\rangle|^2$).

Мы можем продвинуть эту структуру еще дальше. Произвольная наблюдаемая$A:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^n$поскольку линейный оператор порождает (или, скорее, факторизирует) отображение$\bar{A}:\mathbb{C}P^{n-1}\to\mathbb{C}P^{n-1}.$И с тех пор$\bar{A}$измеримо, оно продвигает меру вперед. Таким образом, мы можем применить и вышеприведенные рассуждения.

Я считаю, что то, что я изложил, обобщается на произвольное гильбертово пространство (и на произвольные квантовые операции).

Согласуется ли приведенная выше вероятностная структура с той, которая определена в терминах операторов плотности? Если так, то не должна ли вся квантовая механика считать интересными только чистые состояния?