mnmnmn-dim гильбертово пространство против произведения mmm и nnn гильбертовых пространств

Два конечномерных гильбертовых пространства одинаковой размерности изоморфны, вот и все. Конечно, что-то в одном имеет аналог в другом. Здесь вы сталкиваетесь с тем, что какой-то объект в$\tilde{\mathcal{H}}_K$просто более особенные, чем их аналоги в$\mathcal{H}_K$было бы.

Возьмем, к примеру, пространство состояний двух кубитов в сравнении с обычным 4-мерным пространством (так что$m = n = 2$), и их базы$\{|0\rangle, |1\rangle\}^{\otimes 2}$против$\{|a\rangle,|b\rangle,|c\rangle,|d\rangle\}$. Вы бы не рассматривали$b+d$более особенным, чем$b+c$, например, в то время как разница между$|01\rangle + |11\rangle$и$|01\rangle + |10\rangle$это тот, который мы называем разделенным, а другой запутанным. Это семантическое различие теряется, когда мы стираем различие между двумя пространствами. То же самое касается квантовых операций.

Пожалуй, самый наглядный пример — смена базиса. В пространстве тензорных произведений вы, вероятно, в первую очередь рассмотрите новые базы, полученные путем тензорного умножения двух оснований$\mathbb{C}^2$, чтобы сохранить разделение. Но с тем же успехом вы можете использовать базис состояний Белла,

$$\{(|00\rangle + |11\rangle)/\sqrt2, (|00\rangle - |11\rangle)/\sqrt2, (|01\rangle + |10\rangle)/\sqrt2, (|01\rangle - |10\rangle)/\sqrt2\}.$$ Кое-что в нем понятнее, но не сказать, например, какие состояния были разделимыми, а какие нет — это вдруг требует дополнительных вычислений, в основном сводящихся к обратному преобразованию, а затем к тому, что вы сделали бы в исходном базисе. Это потому, что $\tilde{\mathcal{H}}_4$обращались как $\mathcal{H}_4$. Никакая информация не была потеряна, это всего лишь вопрос вашего выбора математического описания того же самого.

Предположим, что имеется гильбертово пространство размерности${K= mn}$. Его можно описать (по крайней мере) двумя способами — просто как$K$-мерное пространство, или как произведение$m$- и$n$-мерные пространства. В первом случае мы будем называть его$\mathcal{H}$, в последнем —$\widetilde{\mathcal{H}}$. Все штаты в$\mathcal{H}$и${\widetilde{\mathcal{H}}=\widetilde{\mathcal{H}}_1\otimes \widetilde{\mathcal{H}}_2}$, как и квантовые операции, должны находиться во взаимно однозначном соответствии друг с другом. Итак, математически эти два описания эквивалентны. Давайте теперь исследуем, меняется ли что-нибудь с физической точки зрения.

Например, в случае$\widetilde{\mathcal{H}}$мы можем измерить только "часть" состояния, соответствующую одному из гильбертовых пространств$\widetilde{\mathcal{H}}_1$и$\widetilde{\mathcal{H}}_2$. Это приведет к частичному коллапсу волновой функции. Выполняя измерения в$\widetilde{\mathcal{H}}_1$, получается (здесь и далее для простоты полагаем${\dim \widetilde{\mathcal{H}}_1 = \dim \widetilde{\mathcal{H}}_2 = 2}$, а также что измерения в$\widetilde{\mathcal{H}}_{1,2}$выполняются в расчетной базе):

$$\begin{alignat}{9} \label{pr1} \dfrac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes (|0\rangle+|1\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|0\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle)\\ &|1\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle) \end{alignedat}\right.\quad&&,\qquad\qquad(1)\\ \label{pr2} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle\otimes|0\rangle+|1\rangle\otimes|1\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|0\rangle\otimes |0\rangle \\ &|1\rangle\otimes |1\rangle \end{alignedat}\right.\quad&&.\qquad\qquad(2) \end{alignat}$$ В первом случае измерение в $\widetilde{\mathcal{H}}_1$не влияет на часть государства, принадлежащую $\widetilde{\mathcal{H}}_2$. В последнем случае ситуация обратная — из-за запутанности исход $\widetilde{\mathcal{H}}_1$измерения приводит к коллапсу $\widetilde{\mathcal{H}}_2$. Естественно задаться вопросом, каковы отражения этих эффектов в случае $\mathcal{H}$.

Обозначая четыре состояния$\mathcal{H}$с буквами мы назначаем состояния как:

$$\begin{alignat}{99} |00\rangle & = |a\rangle \quad&&,\qquad |01\rangle & = |b\rangle \quad&&,\qquad |10\rangle & = |c\rangle \quad&&,\qquad |11\rangle & = |d\rangle \quad&&.\qquad\qquad(3) \end{alignat}$$

Теперь мы хотим переформулировать (1) и (2) в терминах$\mathcal{H}$:

$$\begin{alignat}{9} \label{pr3} \dfrac{1}{2}(|a\rangle+|b\rangle+|c\rangle+|d\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &\dfrac{1}{\sqrt{2}} (|a\rangle+|b\rangle) \\ &\dfrac{1}{\sqrt{2}} (|c\rangle+|d\rangle) \end{alignedat}\right.\quad&&,\qquad\qquad(4)\\ \label{pr4} \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|a\rangle+|d\rangle) &\longrightarrow \left[\begin{alignedat}{9} &|a\rangle \\ &|d\rangle \end{alignedat}\right.\quad&&.\qquad\qquad(5) \end{alignat}$$

Заманчиво назвать описанные выше операции «проецированием на состояния в правой части (1)». Чтобы убедиться в этом, давайте взглянем на квантовые каналы, соответствующие этим измерениям. $\widetilde{\mathcal{H}}_1$операторы измерения$\widetilde{\mathcal{H}}$являются:

$$\begin{equation} \widetilde{M}_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle\langle0|) \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} \qquad,\quad \widetilde{M}_2 = \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|1\rangle\langle1|) \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} \quad.\qquad\qquad(6) \end{equation}$$ Они представляют собой полный набор операторов измерения в $\widetilde{\mathcal{H}}_1$, и, конечно же, неполный набор в $\widetilde{\mathcal{H}}$. Переписывая те, что лежат в основе $\mathcal{H}$оказывает: $$\begin{equation}\begin{alignedat}{9} M_1 &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\end{pmatrix} = |a\rangle\langle a| + |b\rangle\langle b| \quad&&,\qquad\qquad(7)\\ M_2 &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes {\rm 1\hspace{-0.4ex}\rule{0.1ex}{1.52ex}\hspace{0.2ex}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\end{pmatrix} = |c\rangle\langle c| + |d\rangle\langle d| \quad&&.\qquad\qquad(8) \end{alignedat}\end{equation}$$ Как и ожидалось, это проекторы на $\operatorname{span}\{|a\rangle,|b\rangle\}$и $\operatorname{span}\{|c\rangle,|d\rangle\}$.

Теперь, если говорить о физике. Что можно сказать о государстве${\dfrac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes (|0\rangle+|1\rangle)}$при измерении в расчетной базе? — «Не уверен ни в одном из двух кубитов». И о состоянии после измерения${|0\rangle\otimes \dfrac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle+|1\rangle)}$? — Не уверен насчет второго кубита, но первый определенно$|0\rangle$'. Ясно, что (4) допускает аналогичную интерпретацию.

Знаменитой особенностью максимально запутанного состояния Белла является способность наблюдателя полностью идентифицировать состояние составной системы после измерения, выполняя измерение со своей стороны. Глядя на (5), мы видим, как этот механизм работает на языке$\mathcal{H}$: идентификация общего состояния после измерения после проецирования ввода на двумерное подпространство, конечно, невозможна. Однако для некоторых особых состояний такое «мягкое» измерение может дать полную информацию о состоянии после измерения.