Проверка второго типа уравнений лагранжевой механики

Я новичок в классической механике и узнал новую классную вещь, уравнения второго типа лагранжевой механики. Итак, я просто проверял, действительно ли это работает или нет. Итак, я сам задал вопрос, чтобы проверить его, но я думаю, что у меня здесь какая-то проблема.

Во-первых, предположим,$x$координата шара массы$m$. Изначально это на$x=0$, под действием Гравитации он должен упасть (при условии, что установка такова, что Гравитация действует сверху вниз).

Итак, крутое уравнение говорит, что:

$$\displaystyle{\boxed{\boxed{ \dfrac{d}{dt} \left ( \dfrac{\partial L}{\partial {x'} } \right) - \dfrac{\partial L}{\partial x} = 0 }} \quad \dots \quad (*)}$$ Где,$L = K.E. - P.E. = ( mg \sin \theta x) - (mg \sin \theta h)\quad \dots \quad (1)$

Однако использование уравнения Эйлера-Лагранжа (*) с лагранжианом (1) не дает мне разумного ответа, поэтому мой вопрос: в чем моя ошибка?

Итак, я рассчитал KE здесь как:$K = \frac 1 2 m v^2 = \frac 1 2 m (2(g \sin \theta) x) \quad \dots \quad (\text{As }v^2 = u^2 + 2as)$

и$P = mgh = mg\sin \theta(h - x )$

Проблема может быть связана с использованием$v^2=2as$в кинетической энергии (как предлагается в комментариях), но я не понимаю, почему это неправильно.

Итак, почему я не могу заменить уравнения скорости в этом уравнении Лагранжа (эта часть кинетической энергии).