Модуль векторных величин

Гравитационная сила в векторной форме определяется как

Ф → "=" − г М м р 3 р →
Многие учебники определяют его величину как
Ф г "=" − г М м р 2

Однако при выводе гравитационной потенциальной энергии U г "=" − г М м р

Вт гравитацией "=" ∫ с Ф → грав ⋅ г р → "=" ∫ р 1 р 2 Ф   г р потому что ⁡ ( 180 ∘ ) "=" − ∫ р 1 р 2 Ф   г р
"=" − ∫ р 1 р 2 г М м р 2   г р "=" + г М м р | р 1 р 2 "=" г М м р 2 − г М м р 1

где р 2 > р 1

с Δ U г "=" − Вт б у . г р а в

Δ U г "=" U 2 − U 1 "=" г М м ( 1 р 1 − 1 р 2 )

параметр р 2 "=" ∞ , U 2 "=" 0

− U 1 "=" г М м 1 р 1

Поэтому

U "=" − г М м р

что означает, что правильный способ записи величины должен быть Ф "=" г М м р 2 (т.е. без знака минус), так как направление уже учтено (по cos(180)) во время операции скалярного произведения.

Так должен ли я всегда использовать выражение величины без отрицательного знака, потому что направление силы следует рассматривать только «позже» в том смысле, что отрицательный знак не должен быть частью величины?

У меня та же проблема, когда я имею дело с силой, действующей на пружину в законе Гука, например, при выводе EPE:

Вт с "=" ∫ Ф → с   ⋅ г Икс → "=" ∫ Икс 1 Икс 2 к Икс   г Икс потому что ⁡ ( 180 ∘ ) "=" − ∫ Икс 1 Икс 2 к Икс   г Икс
С использованием Δ U с "=" − Вт с будет давать U с "=" 1 2 к Икс 2 , что опять же означает, что Ф с "=" к Икс (скорее, чем Ф с "=" − к Икс )

Но в других выводах, таких как эффективная жесткость определенной комбинации, Ф с "=" − к Икс вместо этого используется.

Я бы рекомендовал вам прочитать определение изменения потенциальной энергии системы.
@Unique Да и нет Δ U г "=" − Вт б у . г р а в соответствует этому определению?
По-видимому, под вашим первым F вы подразумеваете векторную силу на m, а не на M, где r — смещение от M к m? Также F_g является компонентом F вдоль направления r. И только что заметил, что для вычисления гравитационной энергии нужно начинать с массы m на бесконечности, где потенциал принимается равным нулю. Таким образом, ваш r1 должен быть равен бесконечности, а не r2, и это решает ошибку со знаком минус.

Ответы (3)

Формула

Ф г "=" − г М м р 2
верно. Знак минус означает, что гравитационная сила является притягательной.

В вашем расчете небольшая ошибка Вт г , когда вы заменяете Ф г со своей формулой. Формула для Ф г содержит знак минус, который должен отменять минус перед интегралом:

− ∫ р 1 р 2 Ф   г р "=" ∫ р 1 р 2 г М м р 2   г р
Я также предполагаю, что, поскольку вы использовали потому что ⁡ ( 180 ° ) , вы рассматриваете случай, когда р 2 > р 1 .

Отсюда вы выводите, что

Вт г "=" г М м ( 1 р 1 − 1 р 2 )
и это действительно положительно, потому что вам нужна энергия, чтобы разделить два объекта, которые притягиваются друг к другу.

Для консервативной силы, такой как сила тяжести или сила упругости, работа также определяется как Вт "=" − Δ U , где Д е л т а U есть изменение потенциальной энергии. Обратите внимание на знак минус здесь. Для этого есть причина. Работа, как я сказал выше, — это энергия, необходимая для перемещения из одного места в другое. Это положительно, когда вам нужно отдать энергию, и отрицательно, когда вы получаете энергию (обычно кинетическую энергию). С другой стороны, потенциал имеет другую интерпретацию, это один из компонентов энергии, которой обладает объект.

Поскольку нас обычно интересует разность потенциальной энергии, а не ее абсолютное значение, у нас есть определенная свобода выбора, когда потенциальная энергия равна 0. Обычно для гравитационного случая 0 выбирается как потенциальная энергия на бесконечном расстоянии, тогда как для эластичный чехол в исходном положении ( Икс "=" 0 ).

Так что если

Вт г "=" г М м р 1 − г М м р 2
и
Вт г "=" − Δ U "=" U ( р 1 ) − U ( р 2 )
мы получаем, что
U ( р ) "=" − г М м р
Не нужно менять знак Ф . И тот же принцип применим к эластичному чехлу.

Делает Вт г обозначьте работу, совершенную против силы тяжести здесь? В моем выводе Вт г на самом деле работа, выполняемая силой тяжести (извините за неясность ....), которую я считал отрицательной всякий раз, когда р 2 > р 1 . Если Вт г работа совершается под действием силы тяжести, то есть ли ошибка?
@EXINT Единственная разница между работой, выполняемой против силы тяжести и под действием силы тяжести, заключается в знаке результата, исходная формула одна и та же. Вы получаете неправильный знак из-за ошибки, которую я исправил во второй формуле в своем ответе. Гравитационная работа всегда должна быть положительной, когда р 2 > р 1 .
Но разве это не должно быть отрицательным, если р - направленный наружу радиальный вектор, поскольку работа силы тяжести направлена ​​против направления движения. ( р 2 > р 1 ) ?
@EXINT Работа определяется не так. Работа – это количество энергии, которое необходимо затратить для достижения цели.

Я бы не стал приводить весь вывод выражения потенциальной энергии системы, но хотел бы дать вам правильное обоснование признаков, которые необходимо учитывать при выводе выражений потенциальной энергии. Пожалуйста, рассмотрите определение, ниже которого может помочь вам:-

Изменение потенциальной энергии системы определяется как отрицательная работа внутренних консервативных сил системы .

Отрицательный знак повлияет на некоторые опубликованные вами уравнения.

Так должен ли я всегда использовать выражение величины без отрицательного знака, потому что направление силы следует рассматривать только «позже» в том смысле, что отрицательный знак не должен быть частью величины?

Ответ - да, вы просто помните величину без отрицательного знака, так как отрицательное просто указывает направление и говорит, что это сила притяжения. Таким образом, во всей физике, которую легко понять, никогда не ставьте отрицательные значения перед величинами, поскольку они просто указывают только направление.

Модуль векторных величин
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v