В каком направлении совершается положительная работа под действием силы тяжести и чем обосновывается связь между работой, потенциальной и кинетической энергией?

Если объект свободно падает под действием силы тяжести, то сила тяжести и перемещение объекта направлены в одну сторону. Таким образом, значение интеграла силы по смещению (то, что вы называете «рабочим интегралом») положительно. Гравитация совершает положительную работу$W_g$на объект и в результате увеличивается кинетическая энергия$T$объекта (который мы можем измерить непосредственно). В отсутствие сопротивления или других диссипативных сил имеем

$W_g= \Delta T$

Принято следить за работой$W_g$осуществляется гравитацией путем присвоения потенциальной энергии$U$к объекту, что зависит от его местонахождения. Поскольку место, в котором$U$равен нулю произвольно, мы не можем присвоить абсолютное значение$U$, но вместо этого мы приравниваем работу силы тяжести к отрицательной разности$U$то есть

$W_g = - \Delta U$

Таким образом, для объекта, свободно падающего под действием силы тяжести (при условии отсутствия сопротивления и т. д.), мы имеем

$\Delta T + \Delta U = \Delta T - W_g = 0$

Если теперь ввести внешнюю силу$F$это работает$W_F$над объектом (скажем, подняв его с уровня земли на вершину горы), тогда общая работа, выполненная над объектом, равна$W_F + W_g$и так у нас есть

$W_F + W_g = \Delta T \\ \Rightarrow W_F = \Delta T - W_g = \Delta T + \Delta U$

Если сила тяжести постоянна$mg$и высота объекта изменяется на величину$\Delta h$(и отметив, что$\Delta h$находится в противоположном направлении$mg$), то имеем

$W_g = -mg \Delta h \\ \Rightarrow \Delta U = mg \Delta h \\ \Rightarrow W_F = \Delta T + mg \Delta h$

Важно понимать, кто выполняет работу. В общем случае работа, совершаемая силой, положительна, если перемещение тела, на которое действует сила, положительно по отношению к этой силе.

Возьмите свой пример падающей частицы массы$m$падение на объект большей массы$M$. Позволять$\textbf{r}$— радиальный вектор, соединяющий их центры масс, с началом в ЦМ большей массы. Масса$m$испытывает силу

$$\textbf{F}_G = -G \frac{mM}{|\textbf{r}|^3} \textbf{r}$$ из-за гравитационного поля массы$M$. Работа, проделанная этим полем по взятию$m$от$\textbf{r}_1$к$\textbf{r}_2$определяется путем интегрирования этой силы на этом интервале:

$$\text{W}_G = -G m M\, \int_{\textbf{r}_1}^{\textbf{r}_2}\frac{\textbf{r} \cdot d\textbf{r}}{|\textbf{r}|^3} = -G m M\, \int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}\, dr = Gm M\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right).$$ Обратите внимание, что когда объект падает на$M$,$r_2 < r_1,$так что проделанная работа положительна . Это имеет смысл, поскольку$m$движется в том же направлении , что и поле$M$.

Теперь рассмотрим внешнюю силу$\textbf{F}_{\text{ext}}$действующий на$m$чтобы он всегда был равен и противоположен$\textbf{F}_G$:

$$\textbf{F}_{\text{ext}} = -\textbf{F}_G$$ В этом случае,$m$будет двигаться к$M$без ускорения. Если вычислить работу, совершаемую этой внешней силой на$m$, вы бы получили$\text{W}_{\text{ext}} = - \text{W}_G$; т.е. проделанная работа отрицательна. Это также имеет смысл, поскольку$m$движется в противоположном направлении по отношению к внешней силе.

Между прочим, именно так определяется и потенциал поля : это работа, совершаемая внешним фактором по перемещению единицы массы из бесконечности в точку. Таким образом, для гравитационного поля этот потенциал отрицателен, как показал наш пример. $net$работа, совершаемая над объектом, то есть обеими силами, в этом примере равна нулю, поскольку и поле, и внешняя сила совершили одинаковую работу, противоположную друг другу.

Что касается отношения работа-энергия, которое вы упомянули, из него легко следует, если вы принимаете определение энергии как способности выполнять работу, то есть работа, выполняемая над объектом, превращается в энергию:

$$\Delta W = \Delta T + \Delta U.$$ Это отношение сохраняется для всех агентов, выполняющих независимую от пути работу над объектом, как только вы убедитесь, что используете$\Delta U$соответствует рассматриваемой силе. Я приглашаю вас проверить эту взаимосвязь на приведенных выше примерах.

В ньютоновской механике энергия возникает из линейного интеграла второго закона по пути объекта:

$\Sigma_i\overrightarrow F_i = m\overrightarrow a = m\frac{d\overrightarrow v}{dt}\\ \int (\Sigma_i\overrightarrow F_i) \cdot d\overrightarrow r = \int m \frac{d\overrightarrow v}{dt} \cdot d\overrightarrow r\\ \Sigma_i \int \overrightarrow F_i \cdot d\overrightarrow r = m\int d\overrightarrow v \cdot \frac{d\overrightarrow r}{dt}$

Этот последний шаг с правой стороны является ключевой идеей: мы можем переместить$dt$от$d\overrightarrow v$к$d\overrightarrow r$, потому что изменение скорости и изменение положения происходят в течение одного и того же промежутка времени — все три дифференциала соответствуют одному и тому же маленькому участку пути. Кроме того, в левой части мы просто определяем работу, совершаемую силой, как$\int\overrightarrow F\cdot d\overrightarrow r$, поэтому имеем:

$\Sigma_i W_i = m\int d\overrightarrow v\cdot \overrightarrow v$

Теперь другой ключевой момент:$d\overrightarrow v \cdot \overrightarrow v$является дифференциалом$\frac12 \overrightarrow v \cdot \overrightarrow v = \frac12 v^2$. Так

$\Sigma_i W_i = m\Delta(\frac12 v^2)$

Точно так же мы определяем кинетическую энергию как$K = \frac12 mv^2$. Это интуитивно понятно: чем массивнее объект и чем быстрее он движется, тем больше у него энергии движения.

$\Sigma_i W_i = \Delta K$

Это теорема о работе-энергии: сумма работ всех сил дает изменение кинетической энергии.

Теперь для данной силы этот линейный интеграл в общем случае будет зависеть от пути, по которому движется объект. Но как ни странно получается, что фундаментальные силы природы, такие как гравитация и электрическая сила, совершают одинаковую работу на любом пути между двумя заданными точками . Так что нам не нужно делать интеграл каждый раз. Нам просто нужна формула для работы, которую они будут выполнять, с точки зрения двух конечных точек.

$W = W(\overrightarrow r_i, \overrightarrow r_f)$для силы, не зависящей от пути

Но мы также можем думать об этой работе как о кинетической энергии, которую объект может получить, двигаясь из$\overrightarrow r_i$к$\overrightarrow r_f$. Поэтому мы называем это потенциальной энергией$\overrightarrow r_i$относительно$\overrightarrow r_f$:

$U(\overrightarrow r_i) - U(\overrightarrow r_f) = W(\overrightarrow r_i, \overrightarrow r_f)\\ U(\overrightarrow r_f) - U(\overrightarrow r_i) = -W(\overrightarrow r_i, \overrightarrow r_f)\\ \Delta U = -W$

Таким образом, разница потенциальной энергии имеет противоположность разнице кинетической энергии: для силы, не зависящей от пути, объект теряет столько же потенциала, сколько приобретает кинетическую, в силу нашего определения. Это означает, что если вы добавите потенциал и кинетическую силу только из-за этой силы, они останутся прежними.

Следовательно, вы можете взять вышеизложенную теорему о работе и энергии и заменить работу в сумме изменениями потенциальной энергии, но только для тех сил, которые обладают потенциальной энергией, т.е. силы, не зависящие от пути:

$\Sigma_i W_i = \Delta K\\ \Sigma_{path-independent}(-\Delta U_i) + \Sigma_{path-dependent}W_i = \Delta K$

Теперь, если все силы совершают работу, независимую от пути, мы имеем:

$\Sigma_i(-\Delta U_i) = \Delta K\\ -\Delta U_{total} = \Delta K\\ \Delta U + \Delta K = 0\\ \Delta(U + K) = 0$

То есть полная механическая энергия сохраняется. Поэтому мы называем эти независимые от пути силы консервативными силами.

Так что это механическая энергия в двух словах. Но что касается вашей проблемы, то она на самом деле восходит к тому определению работы, потому что это интеграл скалярного произведения . Во всех точках вашего пути гравитация указывает на ЦМ второго объекта, как и смещение первого объекта. Поскольку эти два вектора имеют одинаковое направление, их скалярное произведение положительно, а не отрицательно. Так ваша работа выйдет положительной.

Интуиция, лежащая в основе формулы работы, заключается в том, что когда вы толкаете объект, и он движется в том же направлении, в котором вы его толкаете, вы вносите свой вклад в совершаемое движение, то есть выполняете положительную работу. Но если кто-то другой давит сильнее, а он движется против вашего толчка, вы препятствуете процессу, а значит, выполняете негативную работу. Чем сильнее вы давили и чем дальше он продвигался, тем больше работы вы делали.

Итак, как вы сказали, с математической точки зрения энергия — это просто набор определений в дополнение ко второму закону, но эти определения соответствуют интуитивному пониманию терминов, а математика дает нам кратчайший путь к решению проблем.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Примечание. Я сказал, что это «странно», что фундаментальные силы природы не зависят от пути, т.е. консервативный. Но, оглядываясь назад, этот факт предполагает, что энергия на самом деле является очень естественным понятием в физике, возможно, более естественным, чем сила. Вывод из силы немного неуклюж, но закон сохранения энергии — гораздо более универсальный принцип (даже если он не так строг в современной физике).