Могут ли 2 логических вывода, исходя из 2 разных и независимых наборов предположений, привести к 2 противоречивым выводам?

Ответ на ваш вопрос: «Это зависит». Различные аксиоматические системы могут привести к различным выводам. Об истинности утверждения S можно сказать, что оно истинно или ложно только в рамках данной модели.

Этот вопрос на самом деле не является проблемой, если вы говорите о выводе в двух разных аксиоматических системах. Обычно мы работаем только с одной аксиоматической системой в каждый момент времени, и обычно для использования этой системы есть какое-то оправдание. И в этом случае H1 и H2 в вопросе ОП не будут независимыми, как указывает Конифолд.

Однако также возможно, что одна аксиоматическая система приведет к противоречивым результатам. Такая система называется «несовместимой». Обычно мы не работаем с такими системами, и обычно предполагается, что сама реальность логически непротиворечива, но мы не обязаны делать это предположение. Существует целая область исследований, включающая противоречивые логические системы . У них есть свои преимущества. Например, в последовательной логической системе есть теоремы, истинность или ложность которых никогда не может быть доказана, в то время как в непоследовательной логической системе мы всегда можем определить, является ли теорема истинной или ложной.

Кроме того, аргумент Конифолда не работает в логически непоследовательной системе. Reductio ad absurdum, или доказательство от противного, является формой достоверного доказательства, особенно потому, что мы предположили, что наша логическая система приводит только к истинным или ложным утверждениям и что утверждение не может быть одновременно истинным и ложным.

В ссылке, которую я предоставил, эта концепция обсуждается более подробно, а также объясняются некоторые причины, по которым мы можем быть не уверены, что наша реальность логически непротиворечива, а также то, как мы можем взять текущую аксиоматическую систему и дополнить ее таким образом, чтобы сделать ее полезной. но не последовательно.

Могут ли 2 логических вывода, исходя из 2 разных и независимых наборов предположений, привести к 2 противоречивым выводам?

Да. Если предположения H1 и H2 связаны случайным образом, они независимы друг от друга в том смысле, что одно предположение ничего не подразумевает о другом. Но в случайном отношении может быть корреляция без причинной связи, и два фактора все же могут иметь корреляцию минус один (-1).

То есть в этом случайном отношении два измеряемых фактора никогда не появлялись вместе. Во всех случаях, когда один фактор присутствовал, другого не было. Таким образом, если корреляция H1 и H2 равна (-1), два предположения могут быть независимыми и по-прежнему давать противоречивые результаты.

Я думаю, что ответ на ваш вопрос - да.

Возьмем следующий пример: H1={A} и H2={A -> B, а не B}.

Теперь H1 и H2 независимы, но их объединение противоречиво.

edit: Хм, я только что перечитал ваш вопрос и думаю, что неправильно его понял.

редактирование № 2: Спасибо за Conifold за то, что указали на мою глупую ошибку. Так что если вопрос «возможно ли, что объединение C1 и C2 противоречиво», то ответ, на мой взгляд, да. (Надеюсь, в этот раз я не ошибаюсь).

S — постоянный символ, F,G,H — унарные отношения.

H1={F(S), F(x)&G(x)->J(x)}

H2={G(S), а не J(S)}

С1=Н1, С2=Н2

Рассмотрим научную теорию и эксперимент. Теория включает в себя математическую модель (систему аксиом, которую мы считаем полезной). В постановке эксперимента мы делаем определенные предположения и выводим численный результат. После выполнения эксперимента мы используем результат эксперимента как аксиому вместе с аксиомами об интерпретации таких экспериментов и выводим другой результат. (Вероятно, это будет относительно простая дедукция.) Два вывода не обязательно должны иметь общие аксиомы, поскольку вполне возможно, что ни одно из предположений модели не требуется для получения результата.

Например, предположим, что мы запускали спутники GPS, но еще не разработали общую теорию относительности. Мы возьмем набор предположений о течении времени спутника и формально обработаем их как аксиомы, проходящие через специальную теорию относительности, и придем к корректировке атомных часов, чтобы они отсчитывали правильное время. Теперь запускаем спутник на круговую орбиту и наблюдаем за отправляемыми с него сигналами времени. Мы не беспокоимся об орбитальной механике, а просто отслеживаем сигналы времени каждый раз, когда он находится в определенной точке своей орбиты относительно станции мониторинга.