Я читал «Логический неаприоризм» Буэно и Колливана , и они упомянули, что у Тарского есть следующий аргумент в пользу логического априоризма:
Если в предложениях класса К и в предложении X константы, кроме чисто логических констант, заменить какими-либо другими константами (подобные знаки везде заменены на подобные знаки), и если мы обозначим класс предложений так получается из К посредством К', а предложение получается из X посредством Х', то предложение X' должно быть истинным только при условии, что все предложения класса К' истинны.
Поскольку мы имеем здесь дело с понятием логического, т. е. формального, следствия и, таким образом, с отношением, которое должно однозначно определяться формой предложений, между которыми оно существует, то на это отношение никак нельзя повлиять. эмпирическим знанием и, в частности, знанием объектов, к которым относится предложение X или предложения класса K. Отношение следствия не может быть затронуто заменой обозначений объектов, о которых идет речь в этих предложениях, обозначениями каких-либо других объектов.
Буэно и Коливан прокомментировали:
Требование, чтобы логическое следствие было формальным, выражается гарантией того, что внелогические/эмпирические соображения в явном смысле нерелевантны для логического следствия. Если X уже следует из K, полная переинтерпретация X и предложений в K не изменит эту особенность. Что важно для отношения логического следствия, так это то, что форма аргумента сохраняется.
Я думаю, вот что происходит: если у нас есть логическое следствие Γ⊨A, то даже если мы заменим все предложения в Γ на Γ', а A на A' (оставив только логические константы, такие как конъюнкция или импликация) , если каждый элемент Γ' истинен, A' также должен быть истинен, т. е. Γ'⊨A'.
Если мы считаем, что предложения имеют эмпирические компоненты, то это означает, что наша концепция логических следствий не должна зависеть от эмпирического рассмотрения, как показывает приведенная выше замена.
Чего я не понимаю, так это опровержения Буэно и Колливана:
Но почему мы должны применять требование замещения повсеместно? Потому что, если мы озабочены формальным описанием логических следствий, мы просто не можем допустить вторжения эмпирических факторов — для логических следствий важна форма аргументов. Но что, если, пренебрегая ролью эмпирических факторов, мы просто получим неправильные результаты в данной области? Это именно тот вопрос, на котором настаивает квантовая логика. (Ссылаясь на то, как классическая логика дает неверные результаты применительно к квантовой механике)
Таким образом, наше предложение состоит в том, чтобы ограничить применение требования замещения: выбирается домен, а затем требование замещения применяется только к предложениям/объектам этого конкретного домена. Ограничивая применение требования таким образом, мы можем уловить важный аспект логики: в контексте конкретной области систематическая замена нелогических терминов сохраняет отношение следствия.
Ограничивая требование подстановки таким образом, мы допускаем введение нелогических факторов в логический выбор: параметры, используемые при определении домена, вносят в логику экстралогические факторы.
Я не понимаю, что именно они предлагают сделать. Они предполагают, что замена, как показано выше, может быть выполнена только с другими предложениями из того же домена? Например, если у меня есть логическое следствие Γ ⊨ A, где и Γ, и A являются наборами предложений, описывающих квантовую механику, то, когда я заменяю Γ и A на Γ' и A', последние два также должны быть строго о QM?
Я не понимаю, как это обеспечит правильное заключение, согласующееся с эмпирическими наблюдениями, если только логическое следствие не является обычным для этой конкретной области.
Может ли кто-нибудь помочь мне понять это, пожалуйста?
Логика обычно, хотя и не повсеместно, понимается как отделение формы от содержания. При таком понимании форма является логической частью и традиционно считается априорной, тогда как содержание является эмпирической частью. Если мы можем полностью и успешно отделить формальные части предложения от неформальных, то у нас есть основания говорить, что логика априорна. Одним из вкладов Тарского в эту работу было заложение основ теории моделей, согласно которой предложение, выраженное в логике предикатов первого порядка, может быть разделено между логическими константами (и, или, не, для всех, существует и т. д.) на с одной стороны, и имена, предикаты, функции и предложения - с другой. Предложение является логической истиной, если оно выполняется при всех интерпретациях, то есть мы должны сохранять неизменными логические константы. но мы можем изменить остальные. Таким образом, логическая истина и, в более широком смысле, логическое следствие абстрагируются от эмпирических компонентов предложения или аргумента.
Возражение Буэно и Колливана состоит в том, что нет априорной гарантии того, что конкретное разделение между формальными и эмпирическими факторами, предусмотренное Тарским, будет работать всегда и везде. Они возражают не против формального/эмпирического различия как такового, а только против конкретного выбора логических констант и соответствующих импликативных отношений. Константы, используемые Тарским, являются константами классической логики. Откуда мы можем априори знать, что эти логические константы будут работать везде, особенно если есть примеры, когда они дают неверный результат?
Кстати, Буэно и Коливан используют слово «домен» несколько вольно. В контексте теоретико-модельного подхода Тарского к логике домен обычно означает множество всех индивидуумов во вселенной дискурса. Изменение домена в этом смысле не меняет того, является ли предложение логической истиной или является ли аргумент действительным. B&C использует это слово для обозначения чего-то более похожего на логическую предметную область или модальность. Я буду использовать здесь слово «модальность», хотя вполне возможно, что они имеют в виду нечто более широкое.
В случае квантовой логики проблема с применением классических логических констант заключается в том, что мы находим случаи, когда правила дистрибутивности не работают. Вообще говоря, у нас есть два способа справиться с этим. Мы можем изменить саму логику и принять неклассическую логику. Или мы можем ввести какой-нибудь модальный оператор, который находится между логикой и лежащими в ее основе утверждениями, например, «наблюдаемо, что...». Это позволяет нам блокировать последствия, которые дают неправильный результат, используя правила для объединения наблюдаемых. Классически P вместе с Q влечет за собой P&Q, но если это не выполняется для наблюдаемых, мы могли бы спасти классическую логику, потребовав, чтобы Obs(P) вместе с Obs(Q) не влекли за собой Obs(P&Q).
Я думаю, что бесполезно слишком сильно концентрироваться на квантовой логике хотя бы потому, что достоинства квантовой логики носят весьма технический характер. Есть много другой логики для других модальностей. Например, есть логика обязательства, императивная логика, конструктивная логика, логика доказуемости, логика вероятности и т. д. Они также подчиняются правилам, отличным от классической логики, хотя, как и выше, мы можем сохранить классическую логику, введя модальные операторы. Это то, что пытается сделать модальная логика, хотя нет никакой гарантии, что она всегда будет работать.
Возвращаясь к вашему вопросу, B&C предполагает, что существуют экстралогические факторы, определяющие, какую логику следует использовать для данной модальности. Для выбранной логики правила замещения будут правильно характеризовать валидность для этой модальности, но не для других. Ваше замечание верно, что из этого следует, что отношение логического следствия привычно к модальности. Это может показаться странным, но это происходит с территорией, если вы хотите применить логику к модальностям, лежащим за пределами правды и лжи.
Простым примером может служить аргумент: ¬(∀x)Fx, поэтому (∃x)¬Fx действителен в классической логике, но не в интуиционистской логике. Мы можем выбрать жизнь с интуиционизмом, или мы можем понять интуиционистскую версию аргумента как модальный аргумент о конструктивной утверждаемости и перевести его в классическую модальную логику (S4) таким образом, что этот аргумент недействителен.
Длинный комментарий
Ключевым моментом в подходе Тарского является пункт: «помимо чисто логических констант».
Логические константы (иначе: синкатегоригорематические термины ) — это… константы: они не «переинтерпретируются», когда мы меняем интерпретацию знаков:
[на них] не влияет замена обозначений объектов, на которые ссылаются в этих предложениях, обозначениями любых других объектов.
Это можно назвать «логическим априоризмом»: значение логической константы не зависит от опыта.
Но квантовая логика бросает вызов этой точке зрения: чтобы соответствовать КМ, квантовая логика нуждается в другом значении некоторых связок (например, дизъюнкции), и это предполагает:
что квантовая механика требует революции в нашем понимании логики как таковой. Согласно Патнэму, «логика так же эмпирична, как и геометрия. [...] Мы живем в мире с неклассической логикой» [1968].
Разговорный голубь
Конифолд