Могут ли 6 дополнительных измерений в теории суперструн быть продуктом двух многообразий?

I) Здесь я прокомментирую только традиционную историю теории суперструн , скажем, начиная с первой революции суперструн в 1980-х годах, и предоставлю другим возможность включить более поздние разработки.

II) Традиционно$10$-мерное целевое пространство$(M^{10},g^{(10)})$с метрикой$g^{(10)}$рассматривается как продукт

$$M^{10}~=~M^4 \times K^6$$ с метрикой $g^{(10)}=g^{(4)}\oplus g^{(6)}$, где $(M^4,g^{(4)})$это $4$-мерное пространство-время с $4$-метрический $g^{(4)}$, что мы видим и наблюдаем; и $(K^6,g^{(6)})$является компактным $6$-мерное риманово многообразие , характерные масштабы длины которого настолько малы, что до сих пор избегали экспериментального обнаружения.

Упомянем позже, что самая большая группа голономии a$6$-мерное риманово многообразие может иметь, является$15$-мерная группа Ли $O(6)$, который локально изоморфен$SU(4)$.

III) Давайте теперь переформулируем вопрос ОП следующим образом.

Может ли компактный коллектор$(K^6,g^{(6)})$быть продуктом

$$K^6~=~K^{6-n}\times L^n$$ с метрикой $g^{(6)}=g^{(6-n)}\oplus h^{(n)}$из $(6\!-\!n)$-мерное многообразие $(K^{6-n},g^{(6-n)})$и $n$-мерное многообразие $(L^n,h^{(n)})$, где $n=1,2,3$?

Ниже я докажу, что это невозможно .

IV) Опять же, чтобы избежать экспериментального обнаружения, два коллектора$K^{6-n}$и$L^n$оба должны быть компактными. А теперь еще одна традиционная мудрость состоит в том, что иметь неразрывную струну${\cal N}=1$суперсимметрия в$4$пространственно-временные измерения, группа голономии$(K^6,g^{(6)})$должно быть$8$-мерная группа Ли$SU(3)$, см., например, Грин, Шварц и Виттен, Теория суперструн, гл. 15. См. также этот вопрос Phys.SE.

Случай$n=3$: максимальная группа голономии$3$-мерное риманово многообразие$3$-мерная группа Ли$O(3)$, так$K^6=K^3\times L^3$самое большее может иметь группу голономии$O(3)\times O(3)$, который$6$-размерный, а потому слишком мал, чтобы быть$SU(3)$. Следовательно, многообразие произведений$K^6=K^3\times L^3$исключается.

Случай$n=2$: Аналогичный аргумент исключает многообразие произведения формы$K^6=K^4\times L^2$, так как соответствующая максимальная группа голономии$O(4)\times O(2)$только$7$-размерный.

Случай$n=1$: Наконец, многообразие произведения вида$K^6=K^5\times L^1$исключается, потому что$SU(3)$не является$^1$подгруппа$O(5)$.

--

$^1$$SU(3)$не является подгруппой$O(5)$. Максимальные подгруппы$SO(5)$изоморфны$6$-мерная группа Ли$SO(4)$.

Альтернативно: если алгебра Ли$su(3)$является подалгеброй$so(5)$, то комплексификация$sl(3)=A_2$должно быть подалгеброй$so(5,\mathbb{C})=B_2$, но корневая система$A_2$не укладывается в корневую систему$B_2$. Противоречие.