Спиновая связь в более высоком измерении

У меня проблема с вычислением спиновой связи в случае компактификации одного или нескольких измерений. Например, если мы возьмем Д + 1 размерное действие бозонной струны и напишите Д + 1 размерная метрика с точки зрения Д размерные поля, и мы хотим вычислить спиновую связь, то как именно это сделать.

В основном я имею в виду вычисление 1,10 в следующей статье о теории Калуцы-Клейна К. Поупа.

Правка: я фактически использовал первое структурное уравнение Картана с нулевым кручением, чтобы получить что-то полезное, но оно не сработало. Как для

ю ^ а б
,Я использовал
д е а ^ + ю ^ б а е ^ б "=" 0
а потом,
д е а ^ "=" д ( е α ф е а ) "=" е α ф д ( е а ) + д ( е α ф ) е а           "=" е α ф д ( е а ) + α е α ф ∂ б ф д Икс б ∧ е а           "=" − е α ф ю б а ∧ е б + α е α ф ∂ б ф д Икс б ∧ е а           "=" − ю б а ∧ е ^ б + α ∂ б ф д Икс б ∧ е ^ а           "=" − ю ^ б а е ^ б
Но это никуда не годится, даже близко не приближается. Ведь формула, написанная в ответе ниже, может быть получена из структурного уравнения Картана. Я понятия не имею, как получить
Ф а б е β − 2 α е ^ г
тип термина. На самом деле я рассчитывал некоторые спиновые соединения раньше, но там я всегда использовал форму компонента.

В чем именно проблема? Если у вас есть метрика, вы должны сделать какой-то выбор для результата, который воспроизводит такую ​​матрицу. Затем существует явная формула для спиновой связи в терминах первых производных фильбейна. В любом измерении нет концептуальной проблемы, поскольку решение явно.
Проблема заключается в том, чтобы связать спиновую связь измерения D+1 с измерением D, см. первый член справа. И как получить этот последний член.
Комментарий к вопросу (v3): Было бы хорошо, если бы OP (или кто-то еще?) мог попытаться сделать формулировку вопроса автономной, чтобы не нужно было открывать ссылку, чтобы понять вопрос.
@ user44895 Как сказано в статье, вычисления механические, но утомительные. Нужно просто взять из бумаги vielbein, формулу спин-связи и расширить индекс-сокращения. Вы хотите, чтобы кто-нибудь записал здесь промежуточные шаги?

Ответы (1)

Во-первых, вам нужно выразить спиновую связь в терминах символов Кристоффеля, используя условие исчезновения кручения, что дает

ю мю а б "=" е ν а Г мю р ν е б р − е б ν ∂ мю е ν а .
Теперь, когда вы знаете анзац для метрики, вы знаете и разложение символов Кристоффеля и Vielbein. После некоторой алгебры у вас должно получиться именно то, что написано в (1.10).

ОБНОВЛЕНИЕ: В самом конце вашего вывода вы потеряли один термин. На самом деле, это идет с самого начала, когда вы путаете индексы количеств в шляпе с индексами без шляпы.

Следовательно, если мы позволим заглавным латинским индексам проходить через { а , г } , то мы можем записать общий результат как е ^ А . Тогда уравнение Картана можно записать в виде

д е ^ А + ю ^ А Б е ^ Б "=" 0.
Учитывая эти обозначения, правильное уравнение гласит
г е а ^ "=" г ( е α ф е а ) "=" е α ф г ( е а ) + г ( е α ф ) е а "=" е α ф г ( е а ) + α е α ф ∂ мю ф г Икс мю ∧ е а "=" − е α ф ю б а ∧ е б + α е α ф ∂ мю ф г Икс мю ∧ е а "=" − ю б а ∧ е ^ б + α ∂ мю ф г Икс мю ∧ е ^ а "=" − ю ^ Б а е ^ Б "=" − ю ^ б а е ^ б − ю ^ г а е ^ г

Компонент ю ^ а г можно вывести из уравнения исчезающего кручения ∇ е ^ г "=" 0 . Это даст желаемый срок д А в связи.

Как ты получил
е б ∧ е ^ а
термин во второй последней строке выше, кажется неправильным. Как это будет соответствовать спиновой связи, упомянутой в статье.
Кстати, если кто-нибудь знает хорошую ссылку на какой-то грубый расчет, подобный этому, о спиновом соединении, тогда я буду очень признателен. Потому что между ними, кажется, большой разрыв (я видел книгу уровня Накахара).
Этот термин снова происходит от ваших плохих обозначений. Следует различать плоские и изогнутые индексы. Я изменил выражение в соответствии с этим.
Да я вижу, что. Знаете ли вы ссылку на некоторые хорошие расчеты, подобные этому, потому что я не очень уверен в такого рода расчетах. И еще одна вещь.. Спасибо.
Я не знаю ссылки, где можно найти какие-то явные расчеты. Я бы рекомендовал поискать какие-нибудь лекции по спиновой геометрии с задачами внутри. Собственно, все, что нужно для таких расчетов, вы уже знаете, только позаботьтесь об индексах.
Спиновая связь в более высоком измерении
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v