Ток Нётера для лагранжиана Янга-Миллса-Хиггса

Я пытаюсь рассчитать ток Нётер, точнее, плотность энергии лагранжиана Янга-Миллса-Хиггса. Пожалуйста, обратитесь к уравнениям в лекциях Харви о магнитных монополях, двойственности и суперсимметрии . Я пытаюсь получить уравнение 1.25 из лагранжиана 1.20. Мой лагранжиан выглядит следующим образом:

л "=" − 1 4 Т р ( Ф мю ν Ф мю ν ) + 1 2 Т р ( Д мю Φ Д мю Φ ) − В ( Φ )

Поскольку лагранжиан инвариантен относительно калибровочного преобразования, ток Нётер равен

Θ "=" ∂ л ∂ ( ∂ мю А ν ) ∂ ν А мю + ∂ л ∂ ( ∂ мю Φ ) ∂ ν Φ

Первую производную тока можно рассчитать следующим образом:

∂ ( Ф α β Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" 2 Ф α β ∂ Ф α β ∂ ( ∂ мю А ν )
Расширение Ф α β , и используя ∂ ( ∂ α А β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" дельта α мю дельта β ν , мы получаем
∂ ( Ф α β Ф α β ) ∂ ( ∂ мю А ν ) "=" 2 Ф α β ( дельта α мю дельта β ν − дельта β мю дельта α ν ) "=" 4 Ф мю ν

Точно так же можно произвести расчет и для второй производной. Итак, я получаю следующее:

Θ мю ν "=" − Ф мю ν ∂ ν А мю + Д мю Φ ∂ ν Φ

Откуда я получаю ответ, написанный в лекциях Гарвея.

Θ мю ν "=" Ф мю р Ф р ν + Д мю Φ Д ν Φ

Я очень старался, но я не получаю «дополнительных» условий в ответе, чтобы отменить и дать мне свой ответ, или я делаю какую-то фундаментальную ошибку. Заранее спасибо.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Как указал Рон, мы должны вычислить симметричный тензор энергии. Пожалуйста, может ли кто-нибудь сказать мне, как получить симметричный тензор энергии-импульса напрямую и из канонического тензора энергии, в чем концептуальная разница между ними? Если можно подскажите ссылочку.

Вопрос в редактировании - новый вопрос, и на него требуется развернутый ответ, его следует размещать отдельно.
Страница Википедии о тензоре напряжений Белинфанте-Розенфельда полезна. Дифференцирование действия по g - это самый быстрый способ получить правильный тензор напряжений, разница объясняется в Википедии, это связано с тем, что плотность углового момента в полях не включена должным образом в канонический тензор напряжений, чтобы дать правильное соотношение между угловым моментом и тензором напряжений вы ожидаете на общих основаниях из того факта, что вращение на удаленной оси является переносом.
@Qmechanic: извините, я не перешел по вашей ссылке, это делает мой ответ ненужным.

Ответы (1)

Ваш ответ не будет таким же, как ответ в статье, потому что вы вычисляете канонический тензор энергии-импульса, который сохраняется, но не является симметричным и имеет сложную связь с тензором углового момента. Проблема в том, что существуют две разные сохраняющиеся величины, тензор энергии напряжения и тензор углового момента, и информация в них частично перекрывается для теории как с инвариантностью вращения/лоренца, так и с трансляционной инвариантностью.

Стандартное простое решение состоит в том, чтобы вычислить тензор напряжений путем дифференцирования по г мю ν . Вот как вы автоматически получаете симметричный тензор напряжений с правильными свойствами, которые он делает тензором углового момента, просто умножая на x-факторы

л мю ν α "=" Икс α Т мю ν − Икс мю Т α ν

В некотором соглашении и при условии, что вы используете симметричный тензор напряжений. Производная действия по г мю ν дает результат Харви.

Я должен отметить, что вы пропустили термин − η мю ν л в ваших тензорах напряжений, как у вас, так и у Харви. Это не влияет на вопрос.

Пожалуйста, не могли бы вы объяснить, почему − η мю ν л срок есть. В моем втором уравнении, которое является формулой для тока Нётерса, не должно ли быть этого члена? Этот член связан с изменением лагранжиана из-за преобразования симметрии, но поскольку лагранжиан инвариантен относительно калибровочного преобразования, мы должны рассматривать только изменение действия. Кроме того, не могли бы вы дать мне ссылку, чтобы прочитать о «канонических» и «симметричных» тензорах энергии, то, что я сделал, - это единственный известный мне тензор энергии-импульса.
@ramanujan_dirac: этот термин присутствует из-за изменения граничных условий при переводе (в каноническом случае). Чтобы понять это, выведите стандартную формулу сохранения энергии в 1d лагранжиане: ЧАС "=" п д ˙ − л . Это то же самое, что и причина для -L. Трансляции — это пространственно-временные симметрии, и перемещение области интегрирования влияет на границы. В GR это из-за метрического фактора г в плотности. В любом случае, это всегда правильная формула. Найдите для этого тензор напряжения Белинфанте-Розенфельда.
Ток Нётера для лагранжиана Янга-Миллса-Хиггса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v