Могут ли музыкальные тактовые размеры быть иррациональными?

Я сделаю это еще раз:

Могут ли музыкальные тактовые размеры быть рациональными ?

На что я бы ответил: нет, не совсем так . Рациональность — это математическое понятие, зависящее от точного, аксиоматического представления о числах. Теперь, конечно, любое обычное музыкальное произведение будет использовать рациональную подпись, заданную целыми числами на бумаге или в используемой вами DAW. В этих композициях время концептуально рационально разделено.

Но действительно ли концептуальный уровень является музыкой ? Я бы не был уверен. Для слушателя музыка — это сначала просто колебания в поле атмосферного давления . Наш мозг проделывает замечательную работу, снова разбирая этот беспорядок... он заметит, что есть определенные отдельные голоса. Они поймут, что эти голоса каким-то образом синхронизированы, что есть какие-то гаммы повторения и т. д. Если они что-то знают о музыке, они, как правило, также смогут догадаться по этому снова, какие числа на листе были написаны композитором.
Но это не совсем объективный, воспроизводимый процесс. При внимательном рассмотрении вы обнаружите, что любому человеческому исполнению присущи небольшие колебания темпа и т.п. И, что может быть более удивительно, даже чисто электронное, «точное» секвенсорное произведение при анализе из аудио микса будет иметь такие флуктуации в гораздо меньшем масштабе. Причина на самом деле математически сродни квантово-механическому соотношению неопределенностей Гейзенберга ^† : всякий раз, когда вы упаковываете информацию в какие-либо волны (будь то электромагнитные радиоволны или акустические звуковые волны), вы должны найти компромисс между точностью частоты и точностью времени . В точной терминологии переходные процессы в сигнале с шириной полосы частот f_U может иметь точность времени не более ≈ ¹ ⁄ _{f U} .

Человеческий слух имеет полосу частот <20 кГц. Сигналы в этом диапазоне в принципе имеют временную достоверность не более 50 мкс. На самом деле люди могут определить время сигнала только с точностью до 3 мс... но какими бы ни были точные числа, в принципе существует предел точности. Следовательно, невозможно объективно отличить кусок в ⁴ ⁄ ₄ от одного в ^4,00000001 ⁄ ₄ или фактически от иррационального ^{кош(2,0634371)} ⁄ ₄ .

Так почему же мы все еще можем быть уверены, что данная фигура находится в ⁴ ⁄ ₄ времени, а не в ^{кош(2,0634371)} ⁄ ₄ ? Бритва Оккама . Самая простая возможная модель, которая соответствует — в пределах доступной точности — наблюдаемым данным, — это та, которая ближе всего приближает нас к пониманию того, что происходит .

Теперь интересная деталь: что я имею в виду под «самой простой моделью»? Простоту нельзя определить по-настоящему, для каждого человека по-своему, что кажется простым, а что сложным. В теории информации существует такая штука, как колмогоровская сложность . Это сложная величина, на самом деле ее нельзя вычислить, но она по-прежнему четко определена и может быть прилично аппроксимирована кратчайшей программой, которую кто-то отправит для данной задачи на CodeGolf.StackExchange .

Например, ⁴ ⁄ ₄ имеет сложность не более трех символов или 24 бита, тогда как одно только число 2,0634371 имеет сложность не менее 30 бит.

Но есть и менее яркие примеры. В частности, есть некоторые иррациональные числа, сложность которых следует считать довольно низкой. Число π имеет сложность примерно в один символ, тогда как рациональное число 3,1416 уже имеет сложность более 16 бит.

Поэтому я бы сказал, что произведение в ^π ⁄ ₄ следует рассматривать как произведение в ^π ⁄ ₄ времени, а не в ³⁹²⁷ ⁄ ₅₀₀₀ .

Могут ли музыкальные тактовые размеры быть иррациональными?

Да, могут , во всех смыслах, в которых понятие тактового размера вообще может иметь смысл.

^† _{Эти эффекты неопределенности на самом деле имеют мало общего с квантовыми флуктуациями, физически — они просто математически аналогичны, но физика — это всего лишь классическая механика.
С теоретической точки зрения квантовая механика накладывает еще более фундаментальные ограничения на то, как именно мы можем измерять время: время — неопределенность, умноженная на энергию — неопределенно должно быть больше, чем постоянная Планка. (Это можно рассматривать как причину, по которой в экспериментах по физике элементарных частиц необходимо вкладывать такие огромные энергии: некоторые из частиц, которые они там изучают, имеют чрезвычайно короткое время жизни, которое можно разрешить, только допустив огромные колебания энергии. )
Применительно к музыке существует энергетическая неопределенность, по крайней мере, средней тепловой энергии, которой обладают частицы при температуре тела: Δ E≥ k · Δ T знак равно k · 37°C знак равно k · 310 K ≈ 4,3×10 ^-21 Дж . Если вы посчитаете из этого временную неопределенность, вы получите 1,5 × 10 ^-13 с . Это временная шкала, которую мы действительно можем решить с помощью высокотехнологичного оборудования (например , фемтосекундных лазеров ), намного больше, чем планковское время. Но это все же на много порядков меньше неопределенности во времени из-за классических эффектов, о которых я говорил выше.}

Это настолько раздуто, что не имеет значения для каких-либо практических целей. Длина волны самого высокого звука, который может слышать человек, составляет около 16 мм. Это примерно в 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 раз больше планковской длины волны, т. е. расстояние, которое проходит свет, проходит за одну планковскую единицу времени.

Даже принимая во внимание приближения, сделанные современными компьютерными системами (например, представление чисел приблизительно с точностью «всего» около 16 цифр), накапливающиеся ошибки синхронизации были бы едва заметны в музыкальном произведении продолжительностью в миллион лет.

На самом деле наиболее распространенное использование «иррациональных тактовых размеров» в теории музыки — это вовсе не математически иррациональные числа — это просто дроби со знаменателем, не являющимся степенью двойки, например, 4/3 (что означает, что длина такта равна четвертная нота - 3/3 - плюс одна нота из триоли восьмых нот.)

Он просто хвастается.

Есть несколько основных причин, по которым то, что он описывает, не имеет значения. Прежде всего, ноты — это руководство . На самом деле это не музыка. От вас всегда ожидают, что вы вложите в ноты свой собственный опыт, прежде чем они станут называться музыкой. Таким образом, вы никогда не захотите воспроизводить точную транскрипцию черного тонера на странице. Это была бы не музыка.

Кроме того, давайте представим, что вы хотите сыграть такое произведение. Вы теоретически не можете, потому что вы не можете правильно играть с иррациональными соотношениями. Но ты можешь сыграть любую песню? Оказывается, по этому стандарту нельзя. Допустим, вы хотите сыграть четвертную ноту со скоростью 100 ударов в минуту. Допустим, вы хотите сыграть ля. 100 ударов в минуту — это 0,6 секунды на четвертную ноту. Частота ля составляет 440 Гц, поэтому в этой четвертной ноте будет 264 колебания. Теперь давайте сыграем B после этого. B составляет 493,88 ... Гц. О, о. Теперь мне нужно 296,328... колебаний. Но если я остановлюсь прямо здесь, я на самом деле не в конце цикла. Я должен использовать «функцию окна», чтобы остановить ноту, когда ее амплитуда не равна 0. Это приводит к высвобождению бесконечного ряда гармоник. Это уже не чисто Б.

Поэтому, если я попытаюсь придерживаться стандартов, изложенных в этом видео, я смогу сыграть четвертную ноту ля со скоростью 100 ударов в минуту, но я не смогу сыграть четвертную ноту си. Установленные стандарты слишком высоки, чтобы позволить играть си. .

Так что идите и играйте настоящую музыку, используя ноты в качестве руководства. Постоянная Планка, число Авагадро и все другие полезные числа в науке помогут вам.

Могут ли музыкальные тактовые размеры быть иррациональными?

Стоит отметить, что термин « иррациональный тактовый размер» используется в значении, отличном от обычного математического значения. https://en.wikipedia.org/wiki/Time_signature#Irrational_meters .

Другое дело, что я не думаю , что существовал бы общепринятый способ нотной записи с использованием стандартной нотации в тактовом размере, который был бы иррациональным в обычном, математическом смысле. Здесь я могу ошибаться, но до конца своего ответа я буду говорить об иррациональных соотношениях времени «вообще».

"иррациональные единицы времени не могут существовать из-за постоянной Планка"

Они могут существовать «концептуально» и быть представлены в числах. Может оказаться, что за это время что-то действительно не произойдет — я позволю физикам спорить об этом!

.... поэтому музыкальные размеры, такие как 2: sqrt2, не могут быть идеально исполнены в реальном мире.

Я думаю, что это утверждение вводит в заблуждение по двум причинам.

Во- первых, даже если бы наше временное разрешение было ограничено планковским временем, мы все равно могли бы идеально играть пьесы, длина событий которых точно кратна планковскому времени.

Во- вторых, в нашем реальном реальном мире временное разрешение ограничено всевозможными способами, не связанными с планковским временем , поэтому планковское время на самом деле не будет ограничивающим фактором во многих (или любых?) реальных ситуациях.

Означает ли это, что всякий раз, когда музыкальное произведение с иррациональным тактовым размером исполняется с помощью электронных средств или пианино, на самом деле происходит лишь очень хорошее рациональное приближение к размеру? т.е. если бы подпись была pi:1, то действительно было бы что-то вроде 3927:1250?

Что ж, это правда, что цифровой компьютер должен будет представлять иррациональное число в рациональной аппроксимации. Однако это приближение может быть сколь угодно точным — оно может быть даже намного точнее, чем разрешение планковского времени!

Это не правильно.

Планковское время — это не «такт» во Вселенной; события не выравниваются по границам тиков. Скорее, это наименьшая продолжительность , которую можно измерить до или после других моментов времени.

Если вы измерите время какого-либо события, будет неуверенность относительно точного измерения. Самое точное измерение (когда сопряженное значение совершенно неопределенно) - это время Планка.

Таким образом, имея музыкальное произведение конечной длины, вы рисуете свои ноты и такты нечеткими линиями , имеющими к ним некоторую погрешность. Затем вы всегда можете выбрать рациональное число , чтобы необходимые моменты времени, когда вы рисуете свои теоретические линии, всегда находились в пределах допусков измеренных линий.

Как практический ответ: с полностью компьютеризированной музыкой (за счет, вероятно, не традиционных DAW, которые пытаются избавить вас от подобных «плохих решений»), вы можете придумать музыку, которая не является технически иррациональной, но настолько близка к ней, что человеческое ухо, конечно, не смогло бы различить разницу (например, если бы вы хотели число пи/4, оно могло бы легко дать вам 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510/4). Хотите ли вы этого, я оставляю на ваше художественное видение.

Забавный вопрос.

Более важным, чем постоянная Планка, является, как упоминает leftaroundabout, принцип неопределенности Гейзенберга: вы никогда не сможете измерить музыкальное произведение достаточно точно, чтобы сказать, является ли размер иррациональным.

Есть и математическая проблема. Даже если мы перенесемся во вселенную грез, в которой пространство и время бесконечно делимы, возможны точные измерения, и мы будем жить вечно; мы по-прежнему никогда не могли сказать, было ли музыкальное произведение в π/4 времени или это просто очень близкое к нему рациональное приближение.

Иррациональные числа возникают в музыке в другом месте: в интервалах. В только что темперированной гамме идеальная квинта имеет отношение частот 1,5. Таким образом, форма волны идеальной квинты будет повторяться каждые 2 длины волны нижней ноты. В хорошо темперированной шкале интервал (во вселенной грез, о которой я только что упомянул) будет иметь соотношение 2^(7/12), что иррационально. Таким образом, его форма волны никогда не повторится. Он будет очень похож на только что темперированную чистую квинту, но постепенно фаза двух нот будет смещаться. Это никогда не повторится полностью, но будет сколь угодно близко к этому.

Topo morto упоминает иррациональные размеры, что было для меня новым и интересным. Они не иррациональны в математическом смысле; у них просто нет знаменателя, который является степенью двойки, как обычно. Несмотря на то, что я математик, эта терминология меня не расстраивает: я не чувствую необходимости навязывать математические определения терминов другим дисциплинам. В любом случае, даже в рамках математики термины могут определяться совершенно по-разному в разных контекстах или от автора к автору.

Ссылка на «постоянную Планка» просто добавлена, чтобы звучать умно, чтобы поразить нас наукой.

Композиторы-экспериментаторы, по-видимому, используют нестандартные тактовые размеры для обозначения соотношения темпов - что-то вроде того, когда три квинтоли в старом темпе складываются в миним с двумя точками в новом. И я лишь слегка преувеличиваю!

Я чувствую себя так же, как когда ЦЕРН открыл еще одну фундаментальную частицу - да, ваш анализ может быть близок к объяснению наблюдаемых фактов, но ДОЛЖЕН быть более простой способ описать это!

Как правило, композитор старается облегчить игроку понимание и игру. Тактовые размеры, такие как 3927/1250, определенно не будут использоваться в обычной музыке из-за того, что

1. Это излишне усложняет ситуацию
2. Нет необходимости
3. Это делает игру чрезвычайно сложной или невозможной для проигрывателя (поэтому для воспроизведения требуется электрическое музыкальное программное обеспечение).

Наконец, независимо от того, каков числитель тактового размера, знаменатель должен быть степенью 2. Это потому, что 1 представляет собой полубрев, 2 представляет собой миним, 4 представляет собой крючком, 8 представляет собой квавер, 16 представляет собой полуквавер, и так далее.

Поскольку экспериментальная музыка иногда предпочитает игнорировать эти правила, они могут содержать некоторые из этих экзотических тактовых размеров, но вся цель состоит в том, чтобы просто соответствовать теме экспериментов. Однако все они будут использовать электронное программное обеспечение. Хотя иррациональные единицы времени (для экстремальных экспериментаторов) не существуют из-за постоянной Планка, как упоминается в видео, очевидно, что один экспериментатор мог разработать произведение с приближением к иррациональному числу.

Есть музыка с нецелыми числителями в тактовом размере, однако они просты для понимания и их легко играть.

Например, тактовый размер (4 1/2)/4 (без круглых скобок, конечно) диктует такты из четырех четвертных, а затем восьмой ноты. Примером произведения, использующего это, является Touch Piece для фортепиано Гарднера Рида.

Интересно, что никто не задумывается о том, что означают две цифры в тактовом размере. Вторая нота говорит нам, какая нота составляет 1 удар. Первое число говорит нам, сколько долей в одном такте. Таким образом, размер 2:4, 2:8 и 2:16 одинаковы. Ясно также, что 2:3 будет одним и тем же размером, и, наконец, даже 2:Sqrt(2) будет одним и тем же размером.

Если нам нужен иррациональный размер, первое число должно быть иррациональным.

Теперь давайте сделаем пример с иррациональным тактовым размером: Sqrt(2):4, с темпом 60 ударов в минуту. Таким образом, одна полоса имеет длину Sqrt(2) секунд, что вполне логично. Кстати: постоянная Планка не имеет никакого отношения к этой проблеме.

Вывод: есть иррациональные размеры.