Введение в структуры Бурбаки и их связь с теорией категорий

Когда Бурбаки начинал в 1930-х годах, не было , во-первых, «теории категорий». Одной из проблем, которую решала группа, было отсутствие «современных» текстов (не только на французском языке) и различные проблемы точности в некоторых существующих источниках. Оглядываясь назад, можно сказать, что их понятие «структура» не имело большого успеха, и они сами не использовали его в более поздних томах.

Это была не совсем легкомысленная идея, поскольку можно наблюдать динамику взаимодействия «разных» фундаментальных понятий («алгебраических» и «топологических» и т. д.). Однако, оглядываясь назад, группа Бурбаки была наивна в отношении оснований и философии. математики, несмотря на их сильные стороны в математике как таковой. Даже их отношение к анализу кажется искаженным. Например, где том PDE? :)

Книга Лео Корри «Современная алгебра и рост математических структур» включает обсуждение «структур» Бурбаки и делает сравнения как с теорией категорий, так и с некоторыми другими ранними конкурирующими понятиями.

Но, помимо других выводов, можно игнорировать понятие «структуры» Бурбаки с точки зрения практики математики или даже чтения Бурбаки (!).

Изменить: также я думаю, что мы должны отличать «основополагающие» попытки/концепции от «организационных», хотя подход может включать и то, и другое. Кажется, что теория множеств никогда не пыталась предоставить организационные принципы для математики, только фундаментальные (и интересные вопросы сами по себе). Напротив, теория категорий всегда была скорее организационной, чем фундаментальной (несмотря на работы Ловера и многие другие, сделанные в последнее время). На мой взгляд, «структуры» Бурбаки имели скорее организационное, чем фундаментальное значение, хотя, возможно, любая «экономия» понятий должна облегчить фундаментальное бремя.

Я видел немного определения структуры Бурбаки. Группа Бурбаки грубо определяет структуру как совокупность множеств с функциями и отношениями на них. В качестве примера они берут топологическое пространство, которое представляет собой множество вместе с некоторым подмножеством своего множества мощности. Структуры Бурбаки — это все, что может быть определено таким образом, например, группы и т. д.

Теория категорий изучает классы объектов и их морфизмы. Он пытается классифицировать конструкции на основе абстрактных свойств морфизмов и диаграмм. Например, в категории у нас есть описание продукта без использования «элементов», и это определение продукта применимо ко всем категориям; существует ли продукт на самом деле, это другой вопрос. Иногда получается, а иногда нет.

Теория категорий не дает нам очевидного способа конструирования знакомых структур, таких как группы, хотя за тем, как далеко можно зайти, используя только понятие категории, скрывается интересная математика.

Я предлагаю вообще забыть о Бурбаки, если только (а) вам не нужен конкретный результат или (б) вас не интересуют исторические трактовки. Поскольку Бурбаки осветил многое, то, что вы должны выбрать вместо этого, зависит от того, что вы хотите узнать. Если вас интересует теория категорий, продолжайте читать Mac Lane или прочтите книгу Аводи.

С другой стороны, если вы заинтересованы в анализе математики с точки зрения ее моделей и структуры, попробуйте теорию моделей. Это раздел логики, изучающий типы моделей, которые могут встречаться для данного набора аксиом, и то, чем эти модели отличаются, как с точки зрения первого порядка (т. е. что вы можете различить только по предложениям первого порядка), так и с внешней точки зрения. перспектива (изоморфны ли они?). Книга Дэвида Маркера по теории моделей — хорошее введение.

Если вас просто интересуют конкретные структуры, такие как группы, кольца и т. д., почитайте немного абстрактной алгебры. Вы должны быть хорошо знакомы с абстрактной алгеброй, что поможет вам понять, почему теория категорий так важна. В зависимости от того, насколько хорошо вы знаете алгебру, вас может заинтересовать вводная книга, такая как книга Ротмана по гомологической алгебре. Вы также можете посмотреть книгу Вейбеля по гомологической алгебре, которая мне больше всего нравится, хотя и более продвинутая.

Большинство учебников по алгебре для выпускников вводят некоторые действительно базовые теории категорий и используют их в алгебре. Базовая алгебра Джейкобсона 2 довольно хороша и включает в себя различные определения диаграмм.

Я полагаю, что теория категорий — это четко определенная математическая теория с небольшим набором определений и аксиом, специально предназначенных для описания и доказательства категорий, причем многие примеры этих теорем применимы ко всей математике.

С другой стороны, школа Бурбаки действительно предлагает очень формальный подход ко всей математике. Это скорее подход, общий способ презентации, чем что-либо еще. Нет никакой «теории» Бурбаки (сборника теорем). Подход Бурбаки — это попытка представить традиционную математику особым образом.

Таким образом, с подходом Бурбаки вы получите своего рода культуру занятий математикой, но с теорией категорий вы получите теоремы, специфичные для категорий (которые имеют свое приложение к другим конкретным областям математики).