Что такое «уравнение движения» в контексте геодезического уравнения?

(1) Википедия

(2) Уравнение

$$\frac{d^2 x^\alpha}{d\tau^2}=0$$ уравнение движения свободной частицы в специальной теории относительности. В некотором смысле это обобщение первого закона Ньютона. В нем говорится, что свободные частицы движутся прямолинейно (напомним, что вторые производные аннулируют прямые). Поскольку в специальной теории относительности символы Кристоффеля тривиально равны нулю (конечно, в декартовых координатах), уравнение геодезических $$\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\Gamma^\mu_{\;\rho\sigma}\frac{dx^\rho}{d\tau}\frac{dx^\sigma}{d\tau}=0$$ сводится к приведенному выше уравнению. И наоборот, принцип эквивалентности говорит, что первое уравнение выполняется ровно в одной точке на мировой линии в соответствующих координатах. Можно показать (см., например, Weinberg Gravitation and Cosmology p.70), что это подразумевает уравнение геодезии вдоль остальной части мировой линии.