Можем ли мы «тривиализовать» эквивалентность между каноническим квантованием полей и вторичным квантованием частиц?

Предполагаемая эквивалентность между каноническим квантованием и представлением пространства Фока является лишь частным случаем.

Канонический формализм обеспечивает только канонические скобки Пуассона. Первым шагом в соответствии с аксиомами Дирака является замена скобок Пуассона коммутаторами, а поскольку эти коммутаторы удовлетворяют тождеству Якоби, они могут быть представлены линейными операторами в гильбертовом пространстве.

Каноническое квантование не определяет гильбертово пространство.

Поиск гильбертова пространства, в котором операторы действуют линейно и удовлетворяют коммутационным соотношениям, является проблемой теории представлений. Эта задача в современной литературе получила название «квантование».

Проблема в том, что в случае свободных полей эта задача не имеет единственного решения (с точностью до унитарного преобразования в гильбертовом пространстве). Эта ситуация называется существованием неэквивалентных квантований или неэквивалентных представлений. Представление Фока является лишь частным случаем. Некоторые из квантований называются «нефоковскими», потому что гильбертово пространство не имеет базовой структуры фоковского пространства (т. е. не может быть интерпретировано как свободные частицы), но могут даже существовать неэквивалентные фоковские представления.

Прежде чем продолжить, позвольте мне сказать вам, что неэквивалентные квантования могут быть областями, где может возникнуть «новая физика», поскольку они могут соответствовать различным квантовым системам.

Также подчеркну, что в конечномерном случае ситуация совершенно иная. Это связано с тем, что из-за теоремы Стоуна-фон Неймана любое представление канонических коммутационных соотношений в квантовой механике унитарно эквивалентно представлению гармонического осциллятора. Таким образом, проблема неэквивалентных представлений канонических коммутационных соотношений возникает только в силу бесконечной размерности.

Несколько примеров эквивалентного квантования канонических коммутационных соотношений скалярного поля в пространстве-времени Минковского см. в следующей статье .по: Москелла и Шеффер. В этой статье строятся неэквивалентные представления с помощью преобразования Боголюбова, изменяющего вакуум, а также дается представление термополя. Во всех этих представлениях канонические операторы представлены в гильбертовом пространстве и выполняются канонические коммутационные соотношения. Случаи боголюбовского смещенного вакуума соответствуют нарушенным симметриям Пуанкаре. Можно возразить, что эти решения нефизичны, но аргумента симметрии будет недостаточно в случае квантования на криволинейном неоднородном многообразии общего вида. В этом случае у нас не будет «физического» аргумента, чтобы отбросить некоторые неэквивалентные представления.

Явления неэквивалентных квантований могут иметь место даже в случае конечного числа степеней свободы на неплоских фазовых пространствах.

Сказав все это, я хочу все же дать вам более прямой ответ на ваш вопрос (хотя он не будет уникальным в силу перечисленных выше причин). Насколько я понимаю вопрос, можно утверждать, что существует алгоритм перехода от одночастичного гильбертова пространства к фоковскому. Этот алгоритм можно резюмировать с помощью факторизации Фока:

Где$\mathcal{h}$является одночастичным гильбертовым пространством и$\mathcal{F}$есть фоковское пространство. Как указывалось ранее, каноническое квантование дает нам только канонические коммутационные соотношения:

На данном этапе у нас есть только ($C^{*}$)алгебра операторов. Обратный вопрос о существовании алгоритма, начинающегося с канонических коммутационных соотношений и заканчивающегося фоковским пространством (или, что то же самое, ответ на вопрос, где гильбертово пространство?) дает конструкция Гельфанда-Наймарка-Сигала (КНС) , который обеспечивает представление$C^{*}$алгебры в терминах ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

Построение GNS начинается с состояния$\omega$который является положительным линейным функционалом на алгебре$\mathcal{A}$(в нашем случае алгебра — это пополнение всех возможных произведений любых операторов рождения и уничтожения чисел).

Второй шаг — выбор всей алгебры в качестве начального линейного пространства.$\mathcal{A}$. В общем, будут нулевые элементы, удовлетворяющие:

Гильбертово пространство получается путем идентификации элементов, отличающихся нулевым вектором:

($\mathcal{N}$пространство нулевых векторов).

Внутренний продукт в этом гильбертовом пространстве определяется выражением:

Можно доказать, что конструкция ОНС представляет собой циклическое представление, в котором гильбертово пространство задается действием операторов на циклическом «вакуумном векторе». Конструкция GNS дает все неэквивалентные представления данного$C^{*}$алгебра (с помощью ограниченных операторов). В случае свободного скалярного поля выбор гауссовского состояния определяется его характеристической функцией:

Где$z_{\mathbf{k}}$являются неопределенными, которые можно дифференцировать по, чтобы получить результат для любого произведения операторов.

Нуль-векторы этой конструкции будут просто комбинациями, исчезающими из-за канонических коммутационных соотношений (например,$a_1 a_2 - a_2 a_1$). Таким образом, этот выбор имеет статистику Бозе. Также подпространства, натянутые произведением заданного количества операторов создания, будут числовыми подпространствами.

Состояние данной конкретной конструкции обозначается:$\omega_{\mathcal{F}}$, так как оно дает обычное фоковское пространство. Различные варианты выбора состояния могут привести к неэквивалентным квантованиям.

Для меня эквивалентность кажется очевидной. Попытаюсь объяснить ход своей мысли.

В обоих подходах вы начинаете с группы Пуанкаре.

Теперь в первом подходе вы начинаете с построения фоковского пространства состояний с единственным дополнительным требованием причинности. В результате ваше пространство создается операторами, зависящими от пространства-времени (поскольку в противном случае причинно-следственная связь не может быть обеспечена), то есть полями со значениями оператора. Эти поля подчиняются каноническим (создающим пространство Фока) ковариантным (требующим) коммутационным соотношениям.

Во втором подходе вы начинаете с построения полей из представлений Пуанкаре, а затем квантуете их с дополнительным требованием причинности. Опять же, вы накладываете на свои поля канонические (создающие пространство Фока) ковариантные (требования) коммутационные отношения.

Разница в перспективе. В то время как в первом подходе вы считаете свои состояния частиц более фундаментальными, ищете оператора, который будет создавать ваше физическое пространство, второй подход рассматривает поля как важный объект, создавая многочастичные состояния «по пути».

Здесь я хотел бы дать попытку ответить на этот фундаментальный вопрос на следующем простом примере:

Рассмотрим кристалл, содержащий$m$атомы, локализующиеся вокруг узлов решетки, и каждый атом в узле$i$имеет классические поля$(x_i,p_i)$(положение и импульс), после канонического квантования (первого квантования) классические поля$(x_i,p_i)$повышается до операторов$(\hat{x}_i,\hat{p}_i)$с коммутационными соотношениями$[\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\hbar \delta_{ij}$. Далее введем лестничные операторы$a_i=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{x}_i+i\hat{p}_i)$и они удовлетворяют$[a_i,a_j^\dagger]=\delta_{ij}$. Теперь поучительно использовать одновременные собственные состояния$\mid n_1,\cdots,n_m >_c$операторов$\hat{n}_1,\cdots ,\hat{n}_1$(куда$\hat{n}_i=a_i^\dagger a_i$) как основу кристаллического гильбертова пространства$V_c$, куда$\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c,i=1,2,\cdots,m$.

С другой стороны, рассмотрим вторичное квантование бозонных частиц и пусть$b_i,b_i^\dagger$— операторы уничтожения и создания, индекс$i$представляет$i$состояние одного бозона и$i$работает от$1$к$m$. Операторы числа частиц определяются как$\hat{n}_i=b_i^\dagger b_i$, и базис заполнения бозонного гильбертова пространства$V_b$является$\mid n_1,\cdots,n_m >_b$куда$\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b,i=1,2,\cdots,m$.

Наконец, давайте определим отображение между кристаллическим гильбертовым пространством$V_c$и бозонное гильбертово пространство$V_b$делая$\mid n_1,\cdots,n_m >_c= \mid n_1,\cdots,n_m >_b$, что делает эквивалентность между атомами и отдельными бозонными состояниями . И я думаю, что это как раз эквивалентность между каноническим квантованием классических полей$(x_i,p_i)$и вторичное квантование бозонных частиц$b_i,b_i^\dagger$как вы упомянули.

Насколько я понимаю, вы просто не сможете иметь дело с какой-либо непертурбативной физикой, если попытаетесь вторично-квантовать одночастичные состояния, потому что это априорные пертурбативные возбуждения вокруг вакуумного состояния. Вы пропускаете, например, инстантоны , топологические эффекты... Попробуйте сделать КХД таким образом и посмотрите, как далеко вы продвинетесь.

Вы должны подумать о фундаментальной важности гармонического осциллятора в сфере релятивистских полей.

Ограничимся здесь для простоты реальным скалярным безмассовым бозонным свободным релятивистским полем$\Phi(x,t)$, уравнение:

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta) \Phi(x,t)=0$

Преобразовав Фурье по пространственным координатам, вы получили:

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi(k,t)=0$

куда$\Phi(k,t)$является пространственным преобразованием Фурье \Phi(x,t). Мы могли бы использовать обозначение$\tilde \Phi_k(t)$, с$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi_k(t)=0$.

Это показывает, что, когда мы думаем о релятивистском поле, оно на самом деле (по крайней мере, для бозонных полей) является набором независимых гармонических осцилляторов .$\tilde \Phi_k(t)$. $2$определения полностью эквивалентны, и ни одно из них не лучше другого.

Теперь, квантуя поле$\Phi(x,t)$, это то же самое, что и квантование набора гармонических осцилляторов$\tilde \Phi_k(t)$. Ни одно квантование не лучше другого. Мы знаем, как это сделать, написав:

$\tilde \Phi_k(t) \sim a_k e^{-i|k| t} + a_k^+ e^{+i|k| t}$

с$[a_k, a_k^+]=1$(здесь мы вели наивную переписку, игнорируя$k$является непрерывным индексом)

Гармонические осцилляторы независимы, и$k$являясь непрерывным индексом, это естественным образом распространяется на известные соотношения$[a_k, a_k'^+]=\delta(k-k')$