Эволюция Шредингера для уравнения Клейна-Гордона

У меня проблема с переходом от квантовых релятивистских волновых уравнений (в частности, уравнения Клейна-Гордона) к КТП, поскольку многие предположения кажутся неявными. Например, у меня есть проблема с оператором временной эволюции, который имеет решающее значение для получения теории возмущений. − основным инструментом в QFT я считаю. c Итак, вот с чем у меня возникла проблема: когда мы совершаем скачок от уравнения Шредингера к уравнению Клейна-Гордона, мы получаем производную по времени второго порядка и, следовательно, теряем простые понятия из нерелятивистской КМ, такие как: гамильтониан, оператор эволюции времени и т. д.

Но для скалярного квантового поля мы можем составить лагранжеву плотность:

л ( Икс ) "=" ℏ 2 с 2 г мю ν ∂ мю ф ∂ ν ф * − м 2 с 4 ф ф *

и выполняем «второе квантование», из которого получаем гамильтониан, канонические коммутационные соотношения и возможность использовать картинки (Шредингера, Гейзенберга...).

Так как же это работает? Раньше гамильтониана не было в принципе, а теперь есть. Это тот гамильтониан, который мы включаем в формулы пертурбативных разложений? Что изменилось по сравнению с волновым уравнением с одним решением в начале?

Я предлагаю вам взглянуть на эту презентацию бесплатного квантования Клейна-Гордона. Это кажется достаточно точным с математической точки зрения, чтобы помочь вам развеять ваши сомнения.
Общее замечание: Для связи между Schr. экв. и уравнение Кляйна-Гордона, см., например, A. Zee, QFT in a Nutshell, Chap. III.5 и этот пост Phys.SE плюс ссылки в нем.

Ответы (1)

Первое, что вы должны осознать, это тот факт, что хотя ф имеет уравнение движения со вторыми производными по времени, это не волновая функция, и поэтому с КМ проблем нет. Поле — это просто оператор (более или менее), а не состояние. Воздействуя полями на состояние вакуума, вы генерируете другие состояния, которые развиваются с помощью гамильтониана, построенного из таких операторов, как ф сам. И операторы эволюционируют в соответствии с обычным уравнением движения Гейзенберга [ ЧАС , ф ( т , Икс ) ] "=" − я ∂ т ф ( т , Икс ) (и по лоренцевой симметрии [ п Дж , ф ( т , Икс ) ] "=" − я ∂ Дж ф ( т , Икс ) с п мю "=" ( ЧАС , п я ) как 4-вектор Лоренца). От этой картины Гейзенберга вы можете перейти к картине Шредингера, которая, как и в нерелятивистской механике КМ, гамильтониан порождает эволюцию состояний во времени, ЧАС → − я ∂ т . Тот факт, что теория является инвариантной по Лоренцу, просто добавляет другие (важные) вещи, но не меняет того, что говорит КМ. КТП реализует принципы КМ для системы с бесконечным числом степеней свободы, которые могут изменять число частиц.

Все станет очень ясно, если вы поймете, что лагранжиан для свободного скалярного бозона дает гамильтониан для набора гармонических осцилляторов, один гармонический осциллятор для каждого импульса. к с частотой (она же энергия) ю 2 "=" к 2 + м 2 . Если я найду больше времени, я добавлю больше деталей к этому ответу.

Эволюция Шредингера для уравнения Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v