Работа, совершаемая силой трения на цилиндре

Ваши выражения все правильные, кроме вашей работы из-за крутящего момента. Потому что цилиндр не вращается,$\theta \neq \frac{d}{R}$. Однако крутящий момент постоянен, поэтому мы можем написать$\theta = \omega_0 t -\frac{1}{2}\alpha t^2$. Кроме того, работа крутящего момента отрицательна:

$W = \int F \cdot ds + \int \tau \cdot d\theta = \mu_k mg d - \mu_kmgR\theta$

И затем, подставляя выражения для$d$и$\theta$, получаем ответ:

$W = \frac{1}{18}m\omega_0^2R^2 - \frac{2}{9}m\omega_0^2R^2 = -\frac{1}{6}m\omega_0^2R^2$

Я получаю тот же ответ, что и другие, но по-другому. Сначала я смотрю на скорость скольжения$v_s(t) = \omega(t) r + v(t)$и найти время, необходимое для получения$v_s(t)=0$. Временные функции движения зависят от постоянного трения (до начала качения) уравнениями

С общими начальными условиями$\omega(t=0)=\omega_0$и$v(t=0)=v_0$и$I=\frac{m}{2}r^2$момент инерции массы твердого цилиндра.

Итак, скольжение заканчивается, когда

При скольжении сила трения$P(t) = F(t) v_s(t) = -\mu m g (\omega(t) r+v(t))$и работа, совершенная трением

Итак, с начальным условием$v_0=0$и$\omega_0 \neq 0$тогда работа$W=-\frac{m}{6}(\omega_0 r)^2$.

В качестве бонуса, и поскольку это относится к вопросу о том, является ли здесь статическое трение импульсной силой , уравнение работы с имеет$\left(\frac{1}{m} + \frac{r^2}{I}\right)$в знаменателе - это именно то, что вы ожидаете от приведенной массы во время импульса к краю цилиндра.

Это предполагает, что цилиндр является твердым телом, следовательно, нет рассеяния энергии внутри твердого тела. Для нетвердого тела необходим энергетический баланс, основанный на первом законе термодинамики.