Может ли кто-нибудь дать простое объяснение теоремы Коулмана Мандулы и что такое переменные Мандельштама?

Переменные Мандельштама$s,t,u$- величины с единицами квадрата импульса (или массы), описывающие лоренц-инвариантную часть информации об импульсах и энергии в$2\to 2$процессы рассеяния:

$$s= (p_1+p_2)^2, \quad t=(p_1-p_3)^2,\quad u=(p_1-p_4)^2$$ Если вы преобразуете Лоренца входящие импульсы $p_1,p_2$а также исходящие $p_3,p_4$, указанные выше количества не меняются. Так что по теории относительности вся нетривиальная информация о столкновении закодирована в функциях $s,t,u$. Более того, $s+t+u=4m^2$если массы всех четырех частиц равны $m$; это легко обобщается, если они разные. Переменные Мандельштама также легко обобщаются на случай более 4 внешних линий — в этом случае переменных больше. Итак, переменные Мандельштама — это простая вещь, заданная приведенными выше формулами.

Теорема Коулмана-Мандулы

Теорема Коулмана-Мандулы показывает, что теории с (бозонными) группами симметрии, которые смешивают пространственную (геометрическую) и внутреннюю части, т. е. не имеют вида$G_{spacetime}\times G_{internal}$, взаимодействия по существу исчезают, поэтому такие теории непригодны для какого-либо реалистичного моделирования. Так, например, если кто-то предположил, что$E_8$симметрия может включать как вращения в пространстве, так и калибровочную группу Стандартной модели, его гипотеза была бы немедленно исключена теоремой.

Что касается доказательства, то я думаю, что они берут самые легкие скалярные возбуждения в данной теории, два или несколько, и рассеивают их. Дополнительные симметрии — помимо энергии, импульса и т. д. — неизбежно будут означать, что некоторые тензоры должны сохраняться и при столкновении. Поскольку эти тензоры могут зависеть только от импульсов частиц, которые мы рассеиваем, и у них слишком много компонентов, которые должны оставаться неизменными, они могут показать, что импульсы после рассеяния должны быть практически равны импульсам до рассеяния. Это уже означает, что взаимодействия исчезают повсеместно.

Теорема предполагает, что сохраняющиеся величины не могут быть спинорами - с полуцелым спином. Когда допускаются фермионные сохраняющиеся величины с полуцелым спином — суперсимметрии — обнаруживается, что можно обойти исходную теорему в теориях с суперсимметрией, потому что сохраняющиеся спиноры не слишком накладывают ограничения. Получаются суперсимметричные теории, но их возможности по-прежнему ограничены суперсимметричным расширением теоремы Коулмана-Мандулы, теоремой Хаага-Лопушанского-Сониуса.

Привет ЛМ

Это небольшой набросок;

The $S$-матрица действует на сдвиг состояния или состояния импульса частицы. Состояние с двумя состояниями частиц$|p, p’\rangle$воздействует на$S$матрица через$T$матрица

$$S~=~1~–~i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)T$$ Чтобы $T|p, p’\rangle\ne0$. При нулевой массе плоские волны рассеиваются почти при всей энергии. Тогда гильбертово пространство является бесконечным произведением n-частичных подпространств. $H~=~\otimes_nH^n$. Как и во всех гильбертовых пространствах, существует унитарный оператор $U$, довольно часто $U~=~exp(iHt)$, который преобразует состояния, на которые действует S. $U$преобразует состояния n-частиц в состояния n-частиц как тензорные произведения. Унитарный оператор коммутирует с $S$матрица $$SUS^{-1}~=~[1 – i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)T]U[1~+~i(2π)^4 \delta^4(p~–~p’)T^\dagger]$$ $$= U~+~i(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)[TU~–~UT^\dagger] ~+~[(2\pi)^4 \delta^4(p~–~p’)]^2(TUT^\dagger).$$ По свойствам эрмитовости и унитарности нетрудно показать, что последние два члена равны нулю и что S-матрица коммутирует с унитарной матрицей. Затем группа Лоренца определяет оператор $p_\mu$а также $M_{\mu\nu}$для ускорения импульса и вращения. $S$-матрица определяет изменения собственных состояний импульса, а унитарный оператор порождается внутренней симметрией $A_a$, где индекс a находится внутри какого-то внутреннего пространства (например, круга на комплексной плоскости, и тогда мы имеем с некоторым $$[A_a,~p_\mu]~=~[A_a,~M_{\mu\nu}]~=~0.$$ Это набросок печально известной теоремы о запрете Коулмана и Мундулы. Именно это мешает поставить внутренние и внешние генераторы или симметрии на одну и ту же основу.

Обойти эту проблему можно с помощью суперсимметрии. Генераторы супергруппы или градуированной алгебры Ли имеют 1/2 элемента коммутантной группы.$[A_a,~A_b]~=~C_{ab}^cA_c$($C_{ab}^c$= структурная константа некоторой алгебры Ли), плюс еще один набор градуированных операторов, которые подчиняются

$$\{{\bar Q}_a, Q_b\}~=~\gamma^\mu_{ab}p_\mu,$$ что, если вы разработаете SUSY-алгебру, вы обнаружите, что это лазейка, которая позволяет переплетать внутренние симметрии и генераторы пространства-времени. Вышеупомянутый антикоммутатор можно рассматривать как говорящий об операторе импульса, как о граничном операторе $p_\mu~= -i\hbar\partial_\mu$который имеет когомологии, где он является результатом применения оператора Ферми-Дирака $Q_a$. Состояния Ферми-Дирака таковы, что только одна частица может занимать состояние, имеющее топологическое содержание $d^2~=~0$. Эти когомологии лежат в основе БРСТ-квантования.

Для учебника по теореме Коулмана-Мандулы вам нужен третий опус КТП Вайнберга . Полное доказательство со всеми деталями (даже теми, которые были оставлены читателю в исходной статье) находятся в приложении B (страницы с 12 по 22). Доказательство основано только на очень общем принципе релятивистской квантовой механики, изложенном в его главах 2 и 3 (в первом опусе), без какой-либо необходимости в локальной КТП.

Но это еще не все. Перед своим полным доказательством Вайнберг приводит более простое (но только частичное) доказательство в разделе 24.1 (страницы с 1 по 4), которого достаточно, чтобы ясно увидеть место, где относительность имеет значение .

РЕДАКТИРОВАТЬ (после справедливого комментария Кайла): давайте набросаем кинематическое доказательство Вайнберга одной части теоремы.

пусть все образующие симметрии, коммутирующие с 4-импульсом$p_m$образуют алгебру Ли, натянутую на образующие$B_a$. пусть преобразование Лоренца ($L$), представленный на гильбертовом пространстве унитарным оператором$U(L)$, воздействовать на$B_a$.

$U(L)B_aU^{-1}(L)$коммутирует с${L_m}^n p_n$и так с$p_m$. поэтому можно написать, что это линейная комбинация$B_a$:

$$U(L)B_aU^{-1}(L) = \sum {D_a}^b(L)B_b$$

который, как можно показать, удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям, что и$B_a$. используя это и коммутацию всех образующих с$p_m$, и в предположении, что генераторы симметрии, отличные от$p_m$охватывают компактную полупростую алгебру Ли (обозначаемую как$B_A$), можно построить из коэффициентов${D_a}^b$, унитарное конечномерное представление группы Лоренца. но, поскольку группа Лоренца некомпактна, единственное такое представление является тривиальным. следовательно$B_A$коммутирует с$U(L)$.

наконец, потому что$B_A$ездить с$p_m$, их действие на состояние$|p,n\rangle$одиночной частицы с импульсом$p_m$и спин / виды$n$может дать только линейную комбинацию:

$$B_A |p,n\rangle = \sum b_A |p,m\rangle$$

дело в том, что$B_A$коммутирует с повышением подразумевает, что$b_A$не зависит от импульса, а из того, что он коммутирует с вращениями, следует, что$b_A$действуют как единичные матрицы на спиновые индексы, поэтому$B_A$являются генераторами обычной внутренней симметрии, что и требовалось доказать.