Интуиция для S-дуальности

Прежде всего, какова мотивация действия Янга-Миллса и как мне понимать константы связи?$\theta$а также$g$?

Я бы сказал, что мотивация приходит из экспериментов. Например, экспериментальным фактом является сохранение электрического заряда. Сопутствующий ток также сохраняется в смысле

$$\partial_\mu J^\mu=0.$$ Поэтому мы можем записать этот ток как ротор векторного потенциала $A^\mu$. Поскольку завиток градиента исчезает, возникает избыточность $$A^\mu(x)\rightarrow A^\mu(x)-\partial_\mu\Lambda(x),$$ дает тот же измеренный ток. Эта избыточность называется калибровочной симметрией, и в данном случае это просто $U(1)$. Бывает, что для некоторых фундаментальных взаимодействий больше векторных потенциалов, больше зарядов, и мы получаем калибровочную симметрию, основанную на неабелевой группе. Это теория Янга-Миллса. Например, квантовая хромодинамика, описывающая сильное взаимодействие и основанная на $SU(3)$цветовая симметрия.

Классические поля теории должны быть решениями уравнений движения, которые получаются из действия согласно принципу Гамильтона. Квантовые поля также требуют действия для их квантования с использованием метода интеграла по путям. При построении действия вы должны показать, как взаимодействуют поля. Сила этих взаимодействий определяется величиной констант взаимодействия, которая является экспериментальным входом.

Как я могу получить это так называемое расширение в степенной ряд с переменной$\tau$амплитуды вероятности?

Переход от невзаимодействующей квантовой теории поля к взаимодействующей в том же смысле аналогичен переходу от гармонического осциллятора к ангармоническому. Например, вы добавляете член четвертой степени в потенциал в обоих случаях. Затем вы решаете уравнение движения осциллятора или амплитуды вероятностей для полей, используя теорию возмущений. Вероятности в квантовой теории могут быть получены из так называемого производящего функционала, который включает экспоненциальное действие. Пертурбативное разложение здесь означает разложение этой экспоненты по степеням любой из$\hbar$или констант связи.

Какова была мотивация начать смотреть на эту двойственность? Создание везде определенного (в$\tau$) Калибровочная теория, может быть?

Некоторый контекст: с 70-х годов отмечалось, что некоторые неабелевы калибровочные теории допускают решения со стабильным магнитным зарядом. Затем Монтонем, Олив и Годдард, Нюйтс и Олив заметили, что они могут сопоставить масс-спектр электрических зарядов одной теории с масс-спектром магнитных зарядов другой теории (называемой дуальной), если они предполагают конкретное отображение между связи этих теорий. Они предположили, что эти теории электромагнитно-двойственны. Это неабелевское обобщение электромагнитной дуальности в теории Максвелла. Конкретный пример, где предполагается эта двойственность, - это между двумя «копиями» модели Джорджи-Глэшоу:$SO(3)\rightarrow SO(2)$с Хиггсом в соседнем.

$SL(2,\mathbb Z)$двойственность: Виттен показал, что добавление топологического члена ($\theta$-term) модели Джорджи-Глэшоу дает спектр электрических зарядов

$$q_e=e\left(n_e+\frac{\theta}{2\pi}n_m\right),\quad n_e,n_m\in\mathbb Z,$$

Эта теория также допускает дионы, частицы с указанным выше электрическим зарядом, а также магнитный заряд.

$$q_m=\frac{4\pi}{e}n_m.$$ Тогда, если мы определим $$\tau=\frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{e^2},$$ заряд диона можно записать как $$\mathcal Q = q_e+iq_m=e(n_e+\tau n_m).$$

Тогда спектр теории принадлежит решетке, вершины которой дают заряды$(n_m,n_e)$. Массы дионов (теории со связью$\tau$) даются

$$M(n_e,n_m;\tau)=ve|n_e+n_m|=ve \left| \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right) \right|,$$ куда $\sqrt u\equiv ev$а также $v$является Хиггсом vev. Чтобы возникла двойственность, должно существовать отображение между спектром масс двух теорий, т.е. $$\begin{equation}\label{sl6} \left| \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right) \right| = \left| \left(\begin{array}{cc} n'_m&n'_e \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sqrt{u'}\tau'\\ \sqrt{u'} \end{array}\right) \right|. \end{equation}$$ Возможное решение $$\begin{align*} \left(\begin{array}{c} \sqrt{u'}\tau'\\ \sqrt{u'} \end{array}\right) &=e^{i\varphi}\mathcal M \left(\begin{array}{c} \sqrt u\tau\\ \sqrt u \end{array}\right),\\ \left(\begin{array}{cc} n'_m&n'_e \end{array}\right) &= \left(\begin{array}{cc} n_m&n_e \end{array}\right)\mathcal M^{-1}, \end{align*}$$ с $\varphi\in\mathbb R$а также $$\mathcal M= \left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right), \quad \det \mathcal M= 1, \quad A,B,C,D\in\mathbb Z.$$ Следовательно $$\mathcal M\in SL(2,\mathbb Z).$$ Группа $SL(2,\mathbb Z)$имеет два генератора $$T= \left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right), \quad S= \left( \begin{array}{cr} 0&-1\\ 1&0 \end{array} \right).$$

Преобразования двойственности, порожденные$T$а также$S$называются$T$-двойственность и$S$-двойственность соответственно. Как вы можете видеть из$S$генератор, т.$S$-двойственность инвертировать константу связи,

$$S:\tau\rightarrow-\frac 1\tau,$$ т.е. это двойственность, которая отображает сильную связь в слабую связь. С другой стороны $T$выступает в качестве $$T:\tau\rightarrow\tau+1,$$ что представляет собой инвариантность относительно $\theta\rightarrow\theta+2\pi$.

Важно отметить, что возможная электромагнитная двойственность задается только подгруппой$SL(2,\mathbb Z)$потому что необходимо учитывать другое квантовое число частиц.

Важность$S$- Двойственность заключается в том, что можно использовать результаты, полученные в теории со слабой связью (где справедлива теория возмущений), в дуальной теории, имеющей сильную связь (а теория возмущений неверна).