Почему бесконечно малая SUSY-вариация порождается суммой левой и правой киральной образующей

Question

Почему бесконечно малая SUSY-вариация порождается суммой левой и правой киральной образующей

Фаддеев

Мне было интересно, почему во многих (всех? Например, https://arxiv.org/abs/hep-ph/9709356 ) ресурсах по N=1 SUSY изменение поля в простейшей бесплатной модели susy определяется как

{дельта}_{ϵ} ф "=" (ϵ \cdot Вопрос + \bar{ϵ} \cdot \bar{Вопрос}) ф

$\delta_\epsilon \phi = (\epsilon \cdot Q + \overline \epsilon \cdot \overline Q) \phi$ а не просто как

{дельта}_{ϵ} ф "=" (ϵ \cdot Вопрос) ф

$\delta_\epsilon \phi = (\epsilon \cdot Q) \phi$ с соответствующим сопряженным преобразованием. Это несколько смущает меня, потому что я ожидаю, что необходимо показать, что действие инвариантно относительно действия только левокирального генератора.

Можно ли определить преобразования SUSY отдельно для $Q$ и $\overline Q$ так что, например, для свободной киральной модели

[{Вопрос}_{α}, ф] \propto х_{α}, {{Вопрос}_{α}, х_{β}} "=" 0, [{\bar{Вопрос}}_{\dot{α}}, ф] \propto {\bar{х}}_{\dot{α}}, {{\bar{Вопрос}}_{\dot{α}}, х_{β}} \propto о_{β \dot{α}}^{мю} \partial_{мю} ф ?

$[Q_\alpha, \phi] \propto \chi_\alpha, \qquad \{ Q_\alpha,\chi_\beta \} =0, \\ [\overline Q_{\dot \alpha}, \phi] \propto \overline \chi_{\dot \alpha}, \qquad \{ \overline Q_{\dot \alpha},\chi_\beta\} \propto \sigma^\mu_{\beta\dot \alpha} \partial_\mu \phi ?$

Я считаю, что нашел ответ сам, см. ниже.

Ответы (2)

Почему бесконечно малая SUSY-вариация порождается суммой левой и правой киральной образующей

Лоуренс Б. Кроуэлл · Answer 1

Часть алгебры суперсимметрии

{{Вопрос}_{а}, {\bar{Вопрос}}_{\dot{б}}} "=" - 2 я о_{а \dot{б}}^{мю} \partial_{мю}

$\{Q_a,~{\bar Q}_{\dot b}\}~=~-2i\sigma^\mu_{a\dot b}\partial_\mu$ который является оператором импульса

p_{μ} = - i \partial_{μ}

$p_\mu~=~-i\partial_\mu$ . Градуированная алгебра Ли

g = h + k

$g~=~h~+~k$

[час, час] \subset час, [час, к] \subset к, {к, к} \subset час,

$[h,~h]~\subset~h,~[h,~k]~\subset~k,~\{k,~k\}~\subset~h,$ где последний из них содержит указанный выше антикоммутатор. Эта модель имеет киральную симметрию. Тогда это означает, что левые и правые генераторы действуют на скаляр и поле Дирака.

{дельта}_{ϵ} ф "=" (ϵ Вопрос + \bar{ϵ} \bar{Вопрос}) ф "=" ϵ \bar{ψ} + \bar{ϵ} ψ

$\delta_\epsilon\phi~=~(\epsilon Q~+~\bar\epsilon\bar Q)\phi~=~\epsilon\bar\psi~+~\bar\epsilon\psi$

{дельта}_{ϵ} ψ "=" ϵ γ \cdot \partial ф + \bar{ϵ} γ \cdot \partial \bar{ф} .

$\delta_\epsilon\psi~=~\epsilon\gamma\cdot\partial\phi~+~\bar\epsilon\gamma\cdot\partial\bar\phi.$ Это стандартная модель SUSY.

Модель Весса-Зумино вводит псевдоскалярное поле $\eta$ и модель считается левой или правой киральной, которая добавляется к полю Дирака при SUSY-преобразованиях

{дельта}_{ϵ} ф "=" \bar{ϵ} \bar{Вопрос} ф "=" ϵ \bar{ψ}

$\delta_\epsilon\phi~=~\bar\epsilon\bar Q\phi~=~\epsilon\bar\psi$

дельта η "=" \bar{ϵ} γ_{5} ψ

$\delta\eta~=~\bar\epsilon\gamma_5\psi$

{дельта}_{ϵ} ψ "=" ϵ (γ \cdot \partial ф + γ_{5} η) .

$\delta_\epsilon\psi~=~\epsilon(\gamma\cdot\partial\phi~+~\gamma_5\eta).$ Генераторы преобразования майорановские, а поле

ψ

$\psi$ является майорановским фермионом. Майорановский фермион является собственной античастицей. Зарядовое сопряжение

ψ

$\psi$ является

C ψ = i ψ^{*}

$C\psi~=~i\psi^*$ . Внешний вид

ψ

$\psi$ и

C ψ

$C\psi$ в лагранжиане означает, что поле Майорана должно быть электрически нейтральным для сохранения заряда. Тогда это будет частица, такая как нейтрино. Мы можем с помощью оператора зарядового сопряжения преобразовать

C ϵ = ϵ^{*}

$C\epsilon~=~\epsilon^*$

= γ^{0} \bar{ϵ}

$=~\gamma^0\bar\epsilon$ и аналогично

C Q = Q^{*}

$CQ~=~Q^*$

= γ^{0} \bar{Q}

$=~\gamma^0\bar Q$ и таким образом мы можем определить два суперпреобразования по отдельности.

Что касается коммутаторов, я бы, может быть, взял бы небольшую проблему с правым нижним. Элементы $\chi_a$ содержатся в $k$ с $\{k,~k\}~\subset~h$ и поэтому я думаю, что это должен быть антикоммутатор, который

{{\bar{Вопрос}}_{\dot{а}}, х_{б}} "=" {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} х_{б} + х_{б} {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}}

$\{{\bar Q}_{\dot a},~\chi_b\}~=~{\bar Q}_{\dot a}\chi_b~+~\chi_b{\bar Q}_{\dot a}$

\propto {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} {Вопрос}_{б} ф - {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} ф {Вопрос}_{б} + ф {Вопрос}_{б} {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} - {Вопрос}_{б} ф {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} .

$\propto~{\bar Q}_{\dot a}Q_b\phi ~-~{\bar Q}_{\dot a}\phi Q_b~+~\phi Q_b{\bar Q}_{\dot a}~-~Q_b\phi {\bar Q}_{\dot a}.$ Для

ϕ

$\phi$ скалярное поле, которое преобразуется супергенераторами, мы должны позаботиться о том, чтобы коммутировать это мимо супергенераторов

{{\bar{Вопрос}}_{\dot{а}}, х_{б}} "=" {{\bar{Вопрос}}_{\dot{а}}, {Вопрос}_{б}} ф - ({\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} ф) {Вопрос}_{б} + ({Вопрос}_{б} ф) {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} .

$\{{\bar Q}_{\dot a},~\chi_b\}~=~\{{\bar Q}_{\dot a},~Q_b\}\phi~-~({\bar Q}_{\dot a}\phi) Q_b~+~(Q_b\phi){\bar Q}_{\dot a}.$

"=" - 2 я о_{\dot{а} б}^{мю} \partial_{мю} ф + {\bar{ψ}}_{\dot{а}} {Вопрос}_{б} + ψ_{б} {\bar{Вопрос}}_{\dot{а}} .

$=~-2i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu\phi~+~\bar\psi_{\dot a} Q_b~+~\psi_b\bar Q_{\dot a}.$ Последние два выражения в первой строке выше имеют круглые скобки, указывающие, что супергенератор действует только на поле

ϕ

$\phi$ . Сейчас

{\bar{ψ}}_{\dot{a}} Q_{b} = \bar{ψ_{a} {\bar{Q}}_{\dot{b}}}

$\bar\psi_{\dot a} Q_b~=~\overline{\psi_a\bar Q_{\dot b}}$ и с определенным майорановским фермионом

C ψ = i γ^{0} \bar{ψ}

$C\psi~=~i\gamma^0\bar\psi$ и аналогично для образующих возникновение

i^{2} = - 1

$i^2~=~-1$ означает вычитание двух последних членов.

Необходимо помнить, что с $i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu\phi$ это на самом деле работает на обоих $\phi$ и любое другое поле или волна

я о_{\dot{а} б}^{мю} \partial_{мю} (ф х) "=" я о_{\dot{а} б}^{мю} ((\partial_{мю} ф) х + ф \partial_{мю} х)

$i\sigma^\mu_{\dot a b}\partial_\mu(\phi\chi)~=~i\sigma^\mu_{\dot a b}\left((\partial_\mu\phi)\chi~+~\phi\partial_\mu\chi\right)$ и что это оператор, который действует на поля.

Привет, спасибо за ваш ответ. У меня есть еще несколько вопросов. Используя термин Модель Весса-Зумино, я имел в виду, например, arxiv.org/abs/hep-ph/9709356 , который, кажется, отличается от того, что вы говорите, или того, что можно найти в Википедии. В Мартинсе SUSY Primer он называет свободную киральную модель с фермионом Вейля и комплексным скаляром «моделью Весса Зумино», не упоминая, что фермион является майорановским или часть комплексного скаляра является нечетной по четности. Поэтому я изменил название модели выше на «свободная хиральная модель», чтобы избежать путаницы.
Я считаю, что я имею в виду то, что вы называете «стандартной моделью Susy». Теперь мой вопрос: почему в этой модели вариация содержит как левый, так и правый киральный генератор. Вместо этого можно было бы предположить, что левый и правый киральные генераторы действуют раздельно, но, по-видимому, это не так. В своем ответе вы, кажется, подразумеваете, что это связано с киральной симметрией. Не могли бы вы уточнить это?
О других комментариях: может быть, мне нужна антикоммутация для действия Q на $\chi$ . Я проверю это, спасибо! Кроме того, я не думаю, что понимаю, что вы говорите в последних двух уравнениях. На всякий случай я назвал свое скалярное поле Z, и оно преобразуется под действием SUSY-генераторов. (Я, вероятно, отредактирую его на $\phi$ просто чтобы не путаться)
Если $Z$ является скалярным полем, которое преобразуется под действием этих образующих, то все оказывается более сложным. Кстати, я исправил ошибку «вырезать и вставить» выше. Сегодня мне придется подумать об этом немного позже и, возможно, обновить свой ответ.
Спасибо за обновление вашего поста. Это не совсем ответило на мой вопрос, но было полезно разобраться в этом самостоятельно.

Фаддеев · Answer 2

Ладно, думаю, я сам во всем разобрался. Я буду следовать условностям Wess & Bagger.

Если кто-то хочет построить свободный, $\mathcal N=1$ SUSY с комплексным скаляром и фермионом Вейля, то возможные преобразования диктуются теорией представлений группы Лоренца, размерностями и требованием наличия свободной теории, и получается:

[{Вопрос}_{α}, ф] "=" с_{0} х_{α} [{Вопрос}_{α}, ф^{*}] "=" с_{1} х_{α} {{Вопрос}_{α}, х_{β}} "=" 0 {{Вопрос}_{α}, {\bar{х}}_{\dot{β}}} "=" с_{3} о_{α \dot{β}}^{мю} \partial_{мю} ф + с_{4} о_{α \dot{β}}^{мю} \partial_{мю} ф^{*}

$[Q_\alpha, \phi] = c_0 \chi_\alpha \qquad [Q_\alpha, \phi^*] = c_1 \chi_\alpha \\ \{Q_\alpha,\chi_\beta \} = 0 \qquad \{Q_\alpha,\overline{\chi}_{\dot \beta} \} = c_3 \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi + c_4 \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi^*$ плюс эрмитовы сопряжения этих (анти-)коммутационных соотношений. Тогда замыкание SUSY-алгебры накладывает ограничения на коэффициенты

c_{i}

$c_i$ который может быть решен, например, с помощью:

с_{0} "=" \sqrt{2}, с_{4} "=" я \sqrt{2} .

$c_0 = \sqrt{2}, \qquad c_4 = i \sqrt 2.$ Ненулевые преобразования

[{Вопрос}_{α}, ф] "=" \sqrt{2} ф_{α} [{\bar{Вопрос}}_{\dot{α}}, ф^{*}] "=" \sqrt{2} {\bar{х}}_{\dot{α}} {{Вопрос}_{α}, {\bar{х}}_{\dot{β}}} "=" я \sqrt{2} о_{α \dot{β}}^{мю} \partial_{мю} ф^{*} {{\bar{Вопрос}}_{\dot{α}}, х_{β}} "=" я \sqrt{2} о_{β \dot{α}}^{мю} \partial_{мю} ф

$[Q_\alpha, \phi] = \sqrt{2} \phi_\alpha \qquad [\overline Q_{\dot \alpha}, \phi^*] = \sqrt{2} \overline \chi_{\dot \alpha} \\ \{Q_\alpha,\overline{\chi}_{\dot \beta} \} = i \sqrt{2} \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \partial_\mu \phi^* \qquad \{\overline Q_{\dot \alpha},\chi_\beta \} = i \sqrt{2} \sigma^\mu_{\beta \dot \alpha} \partial_\mu \phi$ Дело в том, что действие на лагранжиан с любым генератором оставляет лагранжиан инвариантным, поэтому @ мой второй вопрос, да, можно определить коммутаторы так, как я написал в вопросе.

Это не совсем объясняет, почему вариация определяется именно так. Единственный аргумент, который у меня есть на данный момент (что делает меня достаточно счастливым), заключается в том, что:

Это возможно, потому что вариация за счет лево- и правокиральных генераторов не смешивается.
Генератор вариации эрмитов

Почему бесконечно малая SUSY-вариация порождается суммой левой и правой киральной образующей

Фаддеев

Ответы (2)

Лоуренс Б. Кроуэлл

Фаддеев

Фаддеев

Фаддеев

Лоуренс Б. Кроуэлл

Фаддеев

Фаддеев

Может ли кто-нибудь дать простое объяснение теоремы Коулмана Мандулы и что такое переменные Мандельштама?

Интуиция для S-дуальности

Вопрос о диаграмме Фейнмана и факторе симметрии

Что такое каппа-симметрия?

Что означает «мягкий» в «мягком нарушении симметрии»?

S-матрица в N=4N=4\mathcal{N}=4 Супер-Янг Миллс

Построение суперсимметричного тензора Фарадея

Фактор симметрии по теореме Вика

Почему нет аномалии, когда механика частиц квантована?

Значения параметров СМ в одном определенном масштабе