Возьмем, к примеру, группу Пуанкаре. Сохранение массы покоя порождается инвариантностью относительно . Теперь, если кто-то просто утверждает
Состояние, в котором среднее значение генератора симметрии равно сохраняемой величине, должно быть стационарным.
один получает
то есть уравнение Клейна-Гордона. Вот интересно, это вообще возможное квантование? Дает ли это, например, уравнение Дирака для применительно к псевдовектору Паули-Лубански в квадрате (который имеет математическое ожидание )?
То, что вы наблюдаете, — это общее явление, заключающееся в том, что в релятивистских теориях перевод времени заменяется «переводом аффинных параметров» или «симметрией перевода строки слова», и, следовательно, соответствующий гамильтониан становится ограничением, ограничением, согласно которому состояния должны быть инвариантными относительно этой симметрии.
Да, это работает и для релятивистской вращающейся частицы, и для уравнения Дирака. Здесь трансляционная симметрия на мировой линии уточняется до трансляционной суперсимметрии (даже для обычных спиноров это априори не имеет ничего общего с пространственно-временной суперсимметрией). Нечетным генератором суперсимметрии мировых линий оказывается оператор Дирака. Опять же, состояния должны быть уничтожены им, и это дает уравнение Дирака.
Много указателей на подробности о том, как это работает, здесь:
Ваш пример показывает, что вы можете использовать симметрию для получения гамильтониана (который должен быть инвариантным) и для классификации его решений: удобно выбирать волновые функции таким образом, чтобы они составляли основу неприводимых представлений группы симметрии.
Чтобы получить числа, необходимые для решения уравнений, их симметрии недостаточно. Симметрия может сказать вам только, какие состояния должны иметь одинаковую энергию.
Джо Фицсаймонс
Тобиас Кинцлер