Преобразование скалярного поля и генераторы

Основные пометки.

В общем, вы не можете «вывести» представление данной группы$G$на объектах, которые вы рассматриваете, но есть несколько действительно стандартных определений определенных групповых представлений, которым даются специальные имена, такие как «скаляр», «вектор» и т. д.

Однако, учитывая представление группы Ли$G$, это индуцирует представление ее алгебры Ли$\mathfrak g$, и определение явной формулы для этого представления алгебры Ли — это именно то, что мы делаем, когда находим так называемые «бесконечно малые генераторы» соответствующего группового представления.

Пример.$\mathrm{SO}(2)$

Позволять$C^\infty(\mathbb R^2)$обозначим векторное пространство гладких функций на плоскости$\mathbb R^2$. Скалярное представление$\rho$из$\mathrm{SO}(2)$действующий на$C^\infty(\mathbb R^2)$определяется как

$$\begin{align} (\rho_0(R)\phi)(\mathbf x) = \phi(R^{-1}\mathbf x). \end{align}$$ для каждого $\phi\in C^\infty(\mathbb R^2)$и для каждого $R\in\mathrm{SO}(2)$. Что, черт возьми, здесь происходит? Обратите внимание, что это также можно записать следующим образом: $$\begin{align} (\rho_0(R)\phi)(R\mathbf x) = \phi(\mathbf x) \end{align}$$ Таким образом, это определение заключает в себе интуитивную идею о том, что преобразованное поле $\rho(R)\phi$оценивается в преобразованной точке $R\mathbf x$согласуется с непреобразованным полем $\phi$оценивается в непреобразованной точке $\mathbf x$. В физике принято видеть «штрихованные» обозначения преобразованного поля и преобразованной точки; $$\begin{align} \rho_0(R)\phi = \phi', \qquad R\mathbf x = \mathbf x' \end{align}$$ в этом случае определение скалярного представления можно записать как $$\begin{align} \phi'(\mathbf x') = \phi(\mathbf x) \end{align}$$ Это, наверное, выглядит знакомо. Таким образом, в основном «инвариантность» заключается в том, что значение поля не изменяется при условии, что преобразованное поле оценивается в преобразованной точке.

Бесконечно малые генераторы.

Чтобы найти инфинитезимальные образующие данного представления, мы на самом деле просто пытаемся найти определенное представление алгебры Ли группы. Это представление группы Ли$\rho$естественно индуцирует представление алгебры Ли$\bar \rho$следующее:

$$\begin{align} \bar \rho(X) = \frac{d}{dt}\rho(e^{tX})\Big|_{t=0} \end{align}$$ Итак, для $\mathrm{SO}(2)$например, мы знаем, что алгебра Ли $\mathfrak{so}(2)$генерируется одним элементом $$\begin{align} J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \end{align}$$ и мы можем определить, как этот элемент представлен в представлении, индуцированном скалярным представлением, определенным выше, следующим образом: $$\begin{align} (\bar\rho_0(J) \phi)(\mathbf x) &= \frac{d}{dt}\phi(e^{-tJ}\mathbf x)\Big|_{t=0} \\ &= \frac{d}{dt}\phi(x-ty, y+tx)\Big|_{t=0} \\ &= -y\partial_x\phi(x,y) + x\partial_y\phi(x,y) \\ &= (-y\partial_x + x\partial_y)\phi(\mathbf x) \end{align}$$ Другими словами, в скалярном представлении генератор вращений на плоскости представляется дифференциальным оператором; $$\begin{align} \bar\phi_0(J) = -y\partial_x + x\partial_y. \end{align}$$ Эту же процедуру можно расширить, чтобы найти инфинитезимальные генераторы других представлений, таких как векторное представление $\rho_1$из $\mathrm{SO}(2)$который определен для воздействия на векторные поля $\mathbf v$на самолете следующим образом: $$\begin{align} (\rho_1(R)\mathbf v)(\mathbf x) = R\mathbf v(R^{-1}\mathbf x) \end{align}$$

Кстати, вам могут быть интересны и/или полезны следующие ссылки:

Тензорные операторы

Представления алгебр Ли в физике

Дифференциальные реализации некоторых алгебр

Генераторы групп Пуанкаре.

Идея кавер-группы

Унитарный оператор пространственно-временного перевода

Строгие обоснования бесконечно малых величин в физике