Можно ли использовать математику кватернионов для моделирования пространства-времени?

Есть некоторые проблемы с использованием кватернионов для описания пространства-времени. Кватернионы обладают двумя важными свойствами: (1) они образуют четырехмерное векторное пространство; (2) вы можете умножать кватернионы вместе. ^[1] Первое свойство, очевидно, очень наводит на размышления, но оно ничем не отличается от обычных четырехвекторов, которые мы уже используем в специальной теории относительности. Чтобы специально использовать кватернионы, нам также пришлось бы использовать второе свойство. Вспомните, что — по крайней мере, в обычных обсуждениях специальной теории относительности — вы никогда не перемножите четыре вектора вместе и не получите еще один четырехвектор; вы только «заключаете» их (возьмите их точечный продукт). И стандартное кватернионное умножение на самом деле не дает этого скалярного произведения., но тогда есть эти дополнительные векторные компоненты. Вы можете получить чистый скаляр, умножив кватернион сам на себя, но только путем сопряжения одной копии, что даст вам положительно определенный результат, а не интервал. Так что это не совсем полезно для специальной теории относительности. А что касается векторов, то обычный подход достаточно хорош.

Несмотря на то, что они имеют четыре степени свободы, кватернионы действительно «живут» в трехмерном физическом пространстве. Оказывается, кватернионы не следует рассматривать как скаляр плюс вектор. Вместо этого их следует рассматривать как скаляр плюс бивектор . ^[2] Более конкретно, кватернионы на самом деле являются естественными «спинорами» трехмерного пространства. Таким образом, вместо того , чтобы быть похожими на векторы, они действуют на векторы. Например, кватернионы чаще всего используются для описания поворотов векторов. Стоит повторить: кватернионы не следует рассматривать как векторы в 4-мерном пространстве; их следует рассматривать как операторы, действующие на векторы в трехмерном пространстве.

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, да, вы можете использовать кватернионы для моделирования пространства-времени, хотя вокруг будет много бесполезного багажа. Но, экстраполируя мотивацию вашего вопроса, я мог бы перефразировать его так: «Можем ли мы использовать особые свойства кватернионов, чтобы получить какое-либо вычислительное преимущество или философское понимание теории относительности?» На это ответ нет; им нечего сказать о пространстве- времени , поскольку они на самом деле просто о пространстве.

Но есть хорошие новости! Существует естественное обобщение кватернионов на четырехмерное пространство-время, и оно действительно дает нам вычислительные преимущества и философские идеи. Самое интересное в представлении о кватернионах как о скаляре + бивекторе состоит в том, что эта идея теперь очень легко обобщается на произвольные измерения — и, в частности , на пространство-время Минковского . Это область исследования под названием «Геометрическая алгебра» , или сокращенно ГА. ^[3]

Спиноры в 4-х измерениях ^[4] оказываются очень похожими на спиноры в 3-х измерениях (кватернионы). Например, их можно использовать для очень красивого поворота 4-мерных векторов. Но они так же легко могут повышать 4-мерные векторы - повышение является своего рода обобщенным вращением . Оказывается, многие обычные вещи, которые мы делаем в специальной теории относительности, намного проще использовать спиноры.

И вы можете продолжать идти в другие измерения. Например, вернувшись только к двум измерениям, вы обнаружите, что комплексные числа являются спинорами двумерного пространства! Вы даже начинаете лучше понимать сложную алгебру, используя GA. На самом деле, я научил биологов ГА, начав с 2-х измерений. Как только вы поймете этот простой пример, почти тривиально расширить GA до произвольных размеров. ^[5]

Если вы хотите узнать больше, есть фантастическая книга на эту тему под названием « Геометрическая алгебра для физиков » . На самом деле это моя любимая книга по физике, точка. Есть много хороших ссылок в Интернете, если вы погуглите. И мне нужно подключить модуль геометрической алгебры для sympy , что дает нам хорошую (с открытым исходным кодом) программу для символического выполнения математических операций.

Сноски:

1. Взятые вместе, эти два факта означают, что кватернионы образуют «алгебру» . Идея может показаться странной — вы можете умножать два вектора друг на друга. Вы уже знаете, как умножить вектор на скаляр. И вы можете взять точечные и перекрестные произведения, но ни одно из них не обратимо. Но на самом деле простое умножение двух векторов (обычно) обратимым способом может показаться странным. И тогда вы понимаете, что вы все время делаете это с комплексными числами, которые также образуют «алгебру». Не говоря уже о матрицах.

2. Так уж получилось, что в трех измерениях бивектор имеет три степени свободы, а вектор — три степени свободы. Поэтому, когда Гамильтон обнаружил кватернионы, он по понятным причинам был сбит с толку тем, что они представляли. Его замешательство было главной причиной войн векторов и кватернионов в 1890-х годах . В настоящее время мы понимаем, что кватернионы и векторы — это всего лишь два аспекта одного и того же: ГА. Я бы сказал, что эта путаница — одна из величайших трагедий в истории физики, поскольку Грассманн и Клиффорд уже разработали все инструменты, необходимые для разрешения конфликта.

3. Мы могли бы обсуждать название этой штуки, пока коровы не вернутся домой. Но на практике «геометрическая алгебра» является подтипом алгебры Клиффорда , за исключением того, что мы предполагаем, что в ГА коэффициенты для нашего векторного пространства являются действительными числами, тогда как СА может иметь коэффициенты из любого поля — особенно комплексных чисел. Но CA обычно вводится с не относящимися к делу абстракциями, и сложная версия почти никогда не нужна для приложений в физике (даже в квантовой механике!).

4. Спиноры в 4d иногда называют бикватернионами , которые представляют собой «комплексифицированные» кватернионы, но это очень плохой путь. Усложнение неинтересно и на самом деле не применимо к другим измерениям. Я думаю, что это симптом тенденции использовать неясные, случайные черты, характерные для определенного измерения, в отличие от интуитивного, педагогического, систематического и универсального подхода ГА.

5. Путь, по которому вместе пошли спиноры и нормированные алгебры с делением (NDA), раздваивается в четвертом измерении, поскольку последние ведут в тупик (после октонионов NDA больше нет). Спиноры в четырех измерениях имеют восемь степеней свободы, как и октонионы, но это всего лишь свойство векторного пространства. Другое свойство алгебр, умножение, не может быть таким же, потому что октонионы не ассоциативны , но ассоциативность — одна из определяющих черт ГА. Так что октонионы не являются частным примером ГА. Однако также стоит отметить, что существуют другие спинорные группы даже для измерений ≤3, когда у вас неположительная подпись. Например, расщепленные комплексные числа являются спинорами двумерной версии пространства Минковского.

   Конечно, в физике очень мало нужды в октонионах. У Джона Баэза типично отличное введение в статью об октонионах в физике, которую вы можете прочитать здесь , в которой он показывает, что есть приложения в суперсимметрии/теории струн (и чистой математике, очевидно). Но это самый убедительный аргумент в пользу того, что октонионы могут когда-либо найти применение в физике, — и я, конечно, не убежден.

Приведенный выше ответ гораздо более подробный (и намного лучше), чем мой, но я бы порекомендовал «Дорогу к реальности» Пенроуза, стр. 200 и далее, в частности, утверждение, что «кватернионно естественная» квадратичная форма (...) имеет неверную Подпись относительно теории. Специальная теория относительности зависит от сигнатуры, скажем, - + + + (что позволяет нам выразить время в пространственных терминах как -ict), но, насколько я понимаю, с кватернионами у вас есть сигнатура + + + +, что не соответствует метрика, используемая в 4-D пространстве-времени.

Кватернионы действительно моделируют пространство-время.

Кватернионы происходят из тождества 4-х квадратов, открытого Леонардом Эйлером, то есть, что произведение двух сумм каждых четырех квадратов всегда снова является суммой четырех квадратов: ($X_0^2$+$X_1^2$+$X_2^2$+$X_3^2$)($Y_0^2$+$Y_1^2$+$Y_2^2$+$Y_3^2$знак равно$Z_0^2$+$Z_1^2$+$Z_2^2$+$Z_3^2$). ($Z_0$,$Z_1$,$Z_2$,$Z_3$) может быть алгебраически выражен через ($X_0$,$X_1$,$X_2$,$X_3$) а также ($Y_0$,$Y_1$,$Y_2$,$Y_3$). Заменив$x_0$знак равно$X_0$;$x_1$знак равно$\hat iX_1$;$x_2$знак равно$\hat jX_2$;$x_3$знак равно$\hat kX_3$, и делаем аналогично для$y_0$,$y_1$,$y_2$,$y_3$; а также для$z_0$,$z_1$,$z_2$,$z_3$;в которой

Недавно я опубликовал небольшую статью по этому поводу в « Бюллетене Société Fribourgeoise des Sciences Naturelles », том 103 (2014), с. 83-90 . Газета называется « De la réalité des nombres » и написана на французском языке; это немного более явно, чем то, что я изложил здесь в двух словах.