Пространство-время Минковского: есть ли сигнатура (+,+,+,+)?

Значение показателя:

$$d\tau^2 = dt^2 - dx^2$$

в том, что$d\tau^2$является инвариантом, т. е. каждый наблюдатель в каждом кадре, даже в ускоренном, будет согласовываться со значением$d\tau^2$. Наоборот$dt$а также$dx$зависят от координат, и разные наблюдатели не согласны с относительными значениями$dt$а также$dx$.

Итак, хотя это, безусловно, правда, что:

$$dt^2 = d\tau^2 + dx^2$$

это не (обычно) полезное уравнение, потому что$dt^2$зависит от кадра.

По определению пространство Минковского$\mathbb{R}^{p,q}$должен иметь подпись$(p,q)=(1,d-1)$, с метрикой,

$$ds^2 = -dt^2 +dx_1^2 + dx^2_2 + \dots$$

Подпись$(+,+,\dots)$соответствует евклидову пространству, полученному поворотом Вика,

$$t\to -i\tau$$

к воображаемому времени$\tau$, и метрика изменяется, в случае пространства Минковского, повернутого Виком, на$\delta_{\mu\nu}$. Во многих случаях это удобно сделать, например, для вычисления интеграла по траекториям. В частности, в качестве примера в теории бозонных струн мы поворачиваем действие Полякова к

$$S=\frac{1}{4\pi \alpha'}\int d^2 \sigma \, \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \delta_{\mu\nu}$$

Другой пример: при выводе формулы энтропии Бекенштейна-Хокинга мы решили аппроксимировать статистическую сумму, обычно задаваемую интегралом по путям, как

$$Z \sim \sum_{\text{classical solns.}} e^{-I_E}$$

куда$I_E$есть евклидово действие Эйнштейна-Гильберта, дополненное необходимыми граничными членами. Для метрики Шварцшильда мы бы повернули Вика в евклидово пространство,

$$ds^2_E = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2_{\text{II}}$$

и наложить периодичность на$\tau$с периодом$\beta=1/T$. Это всего лишь несколько примеров из многих, где подпись$(+,+,+,+)$полезно для вычислительных целей. Как правильно указал Джон Ренни, просто манипулируя инвариантным элементом строки,

$$dt^2 = ds^2 + dx^2$$

не даст никакого эффекта, метрика по-прежнему технически$(1,1)$, а также$dt^2$безусловно, зависит от кадра.

патологический$i\,c\,t$и/или «тривиальная подпись» на первый взгляд кажутся очень гладкими и простыми идеями, но различия между пространством Минковского и евклидовым пространством на самом деле довольно глубоки и не могут быть просто унесены с такой легкостью.

Обратите внимание на следующие отличия:

1. Метрический элемент (первая фундаментальная форма) в евклидовом пространстве является истинной метрикой: расстояние между двумя элементами в этом пространстве может быть равно нулю только в том случае, если они являются одними и теми же точками, и оно субаддитивно , т . е . удовлетворяет неравенству треугольника$d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$. Это последнее очень интуитивно понятно и утверждает обыденное понятие «качественной транзитивности близости»: примерно это означает, что если$x$находится рядом с$y$а также$y$рядом с$z$тогда$z$"вроде" близко к$x$.

2. Элемент метрики в пространстве-времени Минковского не обладает ни одним из этих важных свойств: события, разделенные нулевым вектором (отличным от нулевого вектора), имеют нулевое расстояние между ними, а элемент метрики НЕ является субаддитивным: неравенство треугольника не выполняется. . Так что «норма» Минковского не является даже полунормой в математическом смысле.

С евклидовыми пространствами вы имеете дело с нормами и внутренними продуктами в привычном математическом смысле. Их аналоги в пространстве-времени Минковского не принадлежат к этим царствам, хотя и имеют некоторое сходство.

Группа Лоренца — это множество всех матриц, сохраняющих «норму» Минковского: они сохраняют квадратичную форму с$+,\,-,\,-,\,-$подпись, и можно показать, что это означает, что члены группы также сохраняют внутренний продукт Минковского. Введение комплексных чисел затуманивает и путает все в этом элегантном описании, потому что нет понятия «сигнатура» с комплексными матричными группами: в этом случае понятие сигнатуры обобщается на «матрицы, диагонизируемые до матрицы с членами вида$e^{i\,\phi}$вдоль его ведущей диагонали». В такой группе можно следовать путям, которые непрерывно деформируют$e^{i\,\phi}$термины друг в друга, поэтому понятие подписи теряется.

Возможно, вы захотите ознакомиться с моей экспозицией$SO^+(1,3)$здесь для получения дополнительной информации.

Таким образом, любое другое «устройство», которое «сглаживает» сигнатуру, скорее всего, будет иметь ограниченное применение.

Рассмотрим двумерный евклидов вектор$\mathbf v$. Длина в квадрате равна

$$r^2 = \mathbf v \cdot \mathbf v = x^2 + y^2$$

куда$x$а также$y$являются компонентами вектора по некоторому признаку.

$$x = \mathbf v \cdot \hat e_x$$

$$y = \mathbf v \cdot \hat e_y$$

Теперь мы могли бы написать следующее уравнение

$$y^2 = x^2 - r^2$$

но это не означает, что$r$является компонентом любого вектора , потому что это не -$r$не является координатой.

Мы также не можем интерпретировать это как изменение евклидова внутреннего продукта на внутренний продукт Минковского. Правая часть не является скалярным произведением, поскольку на самом деле приведенное выше уравнение просто

$$y^2 = x^2 - \mathbf v \cdot \mathbf v$$

Сходным образом,$\tau$не является координатой и не является компонентой четырехмерного вектора. Запишем для времениподобного смещения четырехвектор$\vec x$

$$\tau^2 = \vec x \cdot \vec x = x^{\mu}x_{\mu} = t^2 - r^2$$

куда

$$t = \vec x \cdot \hat e_0$$

Таким образом, хотя мы, безусловно, могли бы написать уравнение

$$t^2 = \tau^2 + r^2$$

мы не интерпретируем правую часть как внутренний продукт, поскольку приведенное выше уравнение просто

$$t^2 = \vec x \cdot \vec x + r^2$$

---

Заменив время собственным временем на оси Y диаграммы Минковского.

Прежде всего, и это наиболее важно, полученная диаграмма вообще не будет диаграммой пространства-времени, поскольку временная координата будет подавлена;$\tau$не является координатой.

В то время как направленный отрезок линии между двумя событиями на пространственно-временной диаграмме является четырехвектором, такой отрезок линии между двумя точками на вашей диаграмме не будет четырехвектором.

Линия или кривая на вашей диаграмме может быть интерпретирована как график семейства мировых линий; график пространственных координат событий, составляющих мировые линии, в зависимости от собственного времени вдоль мировой линии.

Однако по этой диаграмме мы не можем определить реальные события вдоль мировой линии, поскольку на вашей диаграмме координата времени скрыта.