Можно ли измерить «расстояние» между хордами? Если да, то как?

Самая простая метрика и, вероятно, наиболее часто используемая (даже если только неявно) - это подсчет количества шагов между корнями аккордов вдоль одномерной линии квинт.(или квинтовый круг, если вы допускаете энгармонику и модульную арифметику). Я говорю, что это чаще всего используется, потому что последовательности аккордов, в которых основной тон поднимается или опускается на кварту или квинту (которые имеют расстояние, равное единице по этой метрике), наиболее часто используются во многих стилях западной музыки, что указывает на то, что эти аккорды в каком-то смысле «близкие». В вашей прогрессии эта метрика будет давать расстояния 3, 1, 1, 1. Эта метрика обладает тем свойством, что она хорошо сочетается с тональной музыкой, поскольку отношение тоника/доминанта, определяющее тональность, имеет расстояние, равное единице. И даже если вы начнете немного отклоняться от аккордов, которые находятся в вашей текущей тональности, вы в конечном итоге попадете в «близкородственные» тональности. Кроме того, поскольку эта метрика учитывает только тонику, она по своей сути не заботится о качестве аккорда (мажор или аккорд).

Дом уже упомянул вторую возможную метрику: количество общих тонов (точнее, количество необычных тонов). Чем больше общих тонов у двух аккордов, тем «ближе» они считаются. Это работает особенно хорошо, если вы рисуете аккорды в виде фигур в сетке Тоннеца . В этом случае все ваши триады рассматриваются как треугольники. «Ближайшие» аккорды по этой метрике - это те, которые имеют два общих тона, что приводит к графическому «переворачиванию» треугольника по одному из трех его ребер. Это будет означать, например, что аккорд до мажор одинаково близок к до минор, ми минор и ля минор (один переворот всегда превращает мажор в минор, и наоборот ). В неоримановой теории, эти типы преобразований даже называются: Параллельное (P), Ведущий тон (L) и Относительное (R) соответственно. Существуют более сложные преобразования между аккордами, содержащими только один общий тон. Игнорируя 7-й для простоты, эта метрика даст вам следующие расстояния: 1, 2, 2, 2. Эта метрика менее ограничена тональностью и больше ориентирована на голосоведение. Это может более легко объяснить «близость» аккордов, таких как C и A ♭, которые традиционно были бы далеки. Таким образом, он больше подходит для романтической музыки, где эти традиционно отдаленные прогрессии более распространены. Эта метрика также по своей сути подходит для различных типов аккордов.

Существует еще более сложная метрика, разработанная Дмитрием Тимочко в «Геометрии музыки », включающая n-мерные орбифолды, но я не могу утверждать, что хорошо знаком с ней. Он хорошо подходит для того, чтобы заставить вас забыть о музыке и сосредоточиться на математических абстракциях.

Надев шляпу математика, скажу, что понятие расстояния зависит от многих факторов. Настоящий вопрос заключается в том, что вы ищете, когда говорите расстояние? Вы имеете в виду, что ищете гармоническое сходство? Вы имеете в виду какую-то меру слухового сходства? Вы имеете в виду, как они соотносятся на круге 5-х?

Конструкция евклидова расстояния не очень актуальна, поскольку она предназначена для измерения физического расстояния. Теоретико-групповые аргументы предназначены для обсуждения взаимосвязей между последовательностями хорд, но построены на сетевой или решетчатой ​​структуре. Когда мы используем решетки, у нас есть много различных мер расстояния, каждая из которых имеет значение, относящееся к исследуемой сети.

Мы могли бы также рассмотреть конструкцию временного сходства. Здесь мы записываем каждый аккорд в терминах его математической формы (синусоиды и т. д.), а затем смотрим на расстояния между сигналами во времени. Итак, в конце концов, использование термина «расстояние» нуждается в большем определении, прежде чем мы сможем действительно ответить на вопрос.

Это большая часть голоса, ведущая именно к тому, где вы ищете общие тона между аккордами в гармонии и как вы можете использовать их при переходе между ними.

На самом деле это не столько формула, сколько просто оценка того, насколько связаны два аккорда. Основная идея состоит в том, чтобы просто посмотреть, какие ноты являются общими, и насколько они меняются.

В вашем примере C, в котором есть ноты, C-E-Gи A7, в котором есть ноты A-C#-E-G, имеют 2 общих тона и связаны между собой. Если вы озвучивали эти аккорды в хоровом стиле из 4 частей, вы можете увидеть два аккорда, озвученные следующим образом:

Как видите, 2 ноты не двигаются. Одна нота, в данном случае тенор, движется хроматически вверх, что является очень небольшим движением, а другая, которую нужно сдвинуть, - это басовая нота на терцию, которая находится немного дальше. Однако вы должны заметить, что в басовой партии обычно больше движения.

Как я уже сказал, это не формула, но это очень хороший способ оценить то, о чем вы говорите.

Есть и другие способы определения гармонического «расстояния». Например, можно использовать 5-предельную решетку в качестве «карты», на которой гармонический ландшафт разворачивается по квинтам (WE) и терциям (NS). Тогда мы могли бы отслеживать последовательность аккордов, буквально перемещаясь по карте.

Единственная проблема заключается в аккорде ii, который выполняет двойную функцию и буквально мгновенно переносит нас по карте (от субдоминанты «запад» к доминанте «восток»). (См., например, « Гармонический опыт » В. А. Матье.)

Другой, хотя и тесно связанный с этим, способ увидеть расстояние — использовать неориманову теорию и тоннец . Тогда расстояние можно было бы отслеживать примерно таким же образом и, возможно, определить как количество преобразований, необходимых для перехода от одного аккорда к другому.

В случае C -> A нам потребуются два преобразования: R и P.

В нескольких научных статьях обсуждается именно этот вопрос; Я резюмирую два здесь.

В «Кадровых танцах с кубами» Ричарда Кона автор обсуждает то, что он называет «управляемыми голосовыми опережающими суммами» (или «DVLS»). Чтобы найти DVLS между двумя аккордами, вы просто складываете классы основного тона первого аккорда (mod 12), классы основного тона второго аккорда (также mod 12) и вычитаете первую сумму из второй.

Например, от до мажор к соль мажору мы имеем C E G({0 4 7}, что добавляет к 11), переходя к G B D({7 11 2}, что добавляет к 20, или 8 mod 12). Затем мы вычитаем 11 из 8, что равно -3, или 9 по модулю 12; таким образом, направленная сумма ведущего голоса от до мажор к соль мажору равна 9. Как и ожидалось, это большее расстояние, чем, скажем, до мажор (11) до ре мажор (5), у которого DVLS равен 6.

В аналогичной статье Сета Монахана под названием «Энергетика, ведущая голос в «Идиоме Тристана» Вагнера», автор говорит о «метриках кинетического смещения», или «КДМ». Что здесь важно (и что отличается от DVLS Кона), так это то, что Монахан также измеряет направление.

Вернемся к примеру, где до мажор переходит в соль мажор. В этом случае мы можем понять, что между двумя аккордами есть общий тон G (таким образом, ход 0 полушагов); другие голоса перемещаются от до к си и от ми к ре. Поскольку от до к си смещается на полшага вниз (-1), а от ми к ре смещается на целый тон (-2 полушага), мы суммируем эти расстояния вместе, чтобы увидеть что эта прогрессия имеет KDM -3. Как и в случае DVLS Кона, большее абсолютное значение предполагает большее расстояние между двумя хордами.

Всем, кто интересуется когнитивными реалиями этих расстояний, я предлагаю книгу Кэрол Крамхансл «Воспринимаемая дистанция триады: доказательства, подтверждающие психологическую реальность неоримановых трансформаций» .