Можно ли квантовать системы с локальными (некалибровочными!) симметриями?

Question

Можно ли квантовать системы с локальными (некалибровочными!) симметриями?

Рубен Верресен

Является ли квантование классических теорий с локальными симметриями проблематичным по своей сути? Например, рассмотрим действие EM, но теперь интерпретируем $A_\mu$ как физ . На классическом уровне мне ничего не мешает это сделать (хотя это может вызвать дискомфорт). Что мешает мне превратить это в квантовую теорию? В самом деле, кажется, я могу просто записать интеграл по путям этого, который на самом деле будет совпадать с калибровочно-инвариантным интегралом по путям стандартного EM --- с точностью до глобальной (не относящейся к делу) константы , которая измеряет объем калибровочных орбит ( что является просто постоянным объемом калибровочной группы).

Примечание. Я знаю, что обычная процедура проблематична, поскольку распространитель не определен четко. Однако это не внутренняя проблема, а скорее недостаток пертурбативной точки зрения. Действительно, калибровочная теория решетки может квантовать теории без фиксирования калибровки, что позволяет обойти вышеупомянутую проблему пропагатора.

На самом деле, если я просто возьму $U(1)$ калибровочной теории решетки и игнорировать ограничение, кажется, у меня есть совершенно четко определенная квантовая теория с локальной симметрией? В то же время с концептуальной точки зрения это кажется удивительным: локальные во времени симметрии уже на классическом уровне весьма странны, поскольку предполагают недоопределенность на уровне $A_\mu$ (даже зафиксировав начальное и конечное значения, можно плавно деформировать $A_\mu$ в промежуточное время). Это предполагает, что формулировка Гамильтона (где $A_\mu$ считается физическим ) было бы проблематично. Если я возьму решеточную калибровочную теорию и проигнорирую любые калибровочные ограничения, будет ли эта теория недоопределенной? (Контрпримером может служить торический код $H = - K \sum A_v - \sum B_p$ : для $K\to \infty$ это калибровочная теория со связью $A_v = 1$ , однако для $K$ конечно, это можно интерпретировать как физическую модель с локальной симметрией, но она не является неопределенной. Возможный выход: явное добавление $A_v$ к гамильтониану может быть эквивалентно --- в лагранжевой картине --- разрушению симметрии, которая была локальной во времени (явно сохраняя симметрию, которая локальна в пространстве )?)

СлучайныйПреобразование Фурье

Обратите внимание, что в целом калибр

\equiv

$\equiv$ местный. «Локальная (некалибровочная!) симметрия» — это оксюморон. Заметим также, что калибровочные степени свободы всегда имеют отрицательную норму, поэтому они нарушают унитарность, что, очевидно, нехорошо.

пользователь1504

Не все локальные симметрии являются калибровочными симметриями. Например, двумерные конформные симметрии локальны, но не калибровочны.

Прахар

@AccidentalFourierTransform - Во многих случаях существуют локальные симметрии, которые не являются калибровочными. Асимптотические симметрии в AdS

_{3}

$_3$ являются примером. Совсем недавно обсуждалась группа BMS, которая представляет собой некалибровочную симметрию диффеоморфизма общей теории относительности в плоском пространстве-времени.

СлучайныйПреобразование Фурье

Для большинства людей «калибр» и «местный» являются синонимами. Каково определение «датчика», кроме «параметр симметрии зависит от

x

$x$ «? Но в любом случае это вряд ли имеет отношение к вопросу в ОП, так что неважно.

Рубен Верресен

@AccidentalFourierTransform «датчик» означает «избыточность в описании». Это, например, влияет на меру, используемую в интеграле по путям. Обратите внимание, что локальные симметрии не обязательно должны быть калибровочными (рассмотрите КТП или, проще говоря, квантовую цепочку Изинга).

H = \sum_{n} σ_{n}^{x} σ_{n + 1}^{x}

$H= \sum_n \sigma^x_n \sigma^x_{n+1}$ который --- в этом пределе --- имеет локальные симметрии

P_{n} = σ_{n}^{x}

$P_n = \sigma^x_n$ ). Более того, калибровочные симметрии не обязательно должны быть локальными (например, «симметрия» фермионной четности обычно рассматривается как глобальная калибровочная симметрия, поскольку только состояния с четко определенной четностью являются физическими).

Qмеханик

@Ruben Verresen: рассмотрите возможность размещения этих определений в основном сообщении (а не в комментариях), поскольку разные авторы используют разную терминологию, и комментарии могут исчезнуть в будущем.

Ответы (1)

Можно ли квантовать системы с локальными (некалибровочными!) симметриями?

Обратите внимание, что в целом калибр $\equiv$ местный. «Локальная (некалибровочная!) симметрия» — это оксюморон. Заметим также, что калибровочные степени свободы всегда имеют отрицательную норму, поэтому они нарушают унитарность, что, очевидно, нехорошо.
Не все локальные симметрии являются калибровочными симметриями. Например, двумерные конформные симметрии локальны, но не калибровочны.
@AccidentalFourierTransform - Во многих случаях существуют локальные симметрии, которые не являются калибровочными. Асимптотические симметрии в AdS $_3$ являются примером. Совсем недавно обсуждалась группа BMS, которая представляет собой некалибровочную симметрию диффеоморфизма общей теории относительности в плоском пространстве-времени.
Для большинства людей «калибр» и «местный» являются синонимами. Каково определение «датчика», кроме «параметр симметрии зависит от $x$ «? Но в любом случае это вряд ли имеет отношение к вопросу в ОП, так что неважно.
@AccidentalFourierTransform «датчик» означает «избыточность в описании». Это, например, влияет на меру, используемую в интеграле по путям. Обратите внимание, что локальные симметрии не обязательно должны быть калибровочными (рассмотрите КТП или, проще говоря, квантовую цепочку Изинга). $H= \sum_n \sigma^x_n \sigma^x_{n+1}$ который --- в этом пределе --- имеет локальные симметрии $P_n = \sigma^x_n$ ). Более того, калибровочные симметрии не обязательно должны быть локальными (например, «симметрия» фермионной четности обычно рассматривается как глобальная калибровочная симметрия, поскольку только состояния с четко определенной четностью являются физическими).
@Ruben Verresen: рассмотрите возможность размещения этих определений в основном сообщении (а не в комментариях), поскольку разные авторы используют разную терминологию, и комментарии могут исчезнуть в будущем.

Давид Бар Моше · Answer 1

Почему локальные преобразования должны быть калибровочными преобразованиями :

Традиционно квантование — это рецепт, в котором фазовое пространство классической системы заменяется гильбертовым пространством квантовой системы; а функции на фазовом пространстве, представляющие наблюдаемые, заменяются операторами на гильбертовом пространстве. Кроме того, действие классических наблюдаемых на фазовое пространство заменяется квантовым действием их квантовых аналогов, взвешенных параметром $\hbar$ такое, что в пределе $\hbar \rightarrow 0$ , действие совпадает с классическим действием (принцип соответствия).

Несмотря на то, что во многих приложениях это явно не произносится, процедура квантования должна начинаться с фазового пространства. Основной смысл фазового пространства — пространство всех возможных начальных условий (пространство начальных данных). На базовом уровне мы имеем дело с системами, уравнения движения которых удовлетворяют свойству существования и единственности решений; таким образом, каждое начальное условие соответствует единственному решению. Поэтому мы можем думать о фазовом пространстве как о пространстве всех классических решений. Последнее определение фазового пространства имеет преимущества, поскольку не требует отделения времени от других координат и допускает ковариантное определение фазового пространства. В физической литературе он известен под формализмом Црнковича-Виттена .

При наличии локальных симметрий свойство единственности решений теряется и в лагранжиане появляются комбинации координат или полей, которые не контролируются уравнениями движения и могут принимать произвольные значения. Теория ничего не может сказать о них. С другой стороны, управляемые комбинации — это в точности калибровочно-инвариантные комбинации. Это одно из следствий второй теоремы Нётер .

Вспомнив основное определение фазового пространства как пространства начальных условий; лучшее, что мы можем сделать, — это работать с подпространством начальных данных, которым может управлять теория; т. е. пространство калибровочно-инвариантных наблюдаемых. Эти наблюдаемые порождают редуцированное фазовое пространство, т. е. фазовое пространство, в котором локальная симметрия отмеряется.

Это пространство вообще не является многообразием. Он содержит точки сингулярности, которые затрудняют квантование даже простых квантово-механических систем; см. Эммрих и Рёмер . Вот почему такие методы, как BRST, используются для наложения калибровочной симметрии после квантования.

На решетке:

На решетке вычисляются только корреляторы калибровочно-инвариантных наблюдаемых. В этом случае калибровочная избыточность проявляется мультипликативной константой объема дискретизированной калибровочной группы как в знаменателе, так и в числителе. Мы совершили бы ошибку, если бы вычислили корреляторы калибровочно-неинвариантных величин, не контролируемых теорией. Их корреляторы не будут зависеть от каких-либо параметров теории (например, констант связи), которые мы хотим изучить, и они будут давать просто случайный результат, очень чувствительный к методу, который мы выбрали для интерпретации их как квантовых наблюдаемых.

Кроме того, гораздо удобнее работать с нередуцированным фазовым пространством на решетке. Было бы чрезвычайно сложно, если бы мы работали с редуцированным фазовым пространством, которое, как объяснялось выше, является очень сложным пространством.

Глобальная симметрия

В отличие от случая калибровочной симметрии, теория не накладывает ограничений на то, как мы относимся к глобальным симметриям. Пока они не аномальны, у нас есть, в принципе, свобода измерять глобальные симметрии или оставлять их как симметрии системы (классической и квантовой). В первом случае мы интерпретируем операции конфигурации, связанные симметрией, как одно и то же физическое состояние, а во втором — как разные физические состояния, связанные симметрией. Частным случаем этих симметрий являются большие калибровочные симметрии, которые во многих примерах действуют как симметрии, а не как избыточность, поскольку они соединяют физически различные состояния. Эта тема много раз обсуждалась здесь, в разделе обмена стеками физики; см. следующий ответ и ссылки в нем.

Асимптотические симметрии

Асимптотические симметрии — это «калибровочные» симметрии на некомпактных пространствах или пространствах со специальной замкнутой поверхностью, оставляющие граничные условия инвариантными по модулю условий, связанных с единичной компонентой. Эти симметрии, порождающие в некоторых случаях бесконечномерные группы Ли, также не входят во вторую теорему Нётер, предполагающую компактный носитель вариации. Эти симметрии порождают физические заряды, такие как электрические и магнитные заряды. Следовательно, их также следует рассматривать как глобальные симметрии с точки зрения процесса квантования.

Резюме

Асимптотически тривиальные локальные симметрии следует рассматривать как калибровочные преобразования

Математическая оговорка: чтобы нарушить уникальность эволюции во времени, должна быть возможность построить симметрию, которая обращается в нуль на начальных данных. Это просто в теории Янга-Миллса, но в целом не гарантируется.
@ user1504 вы имеете в виду симметрию, то есть преобразование, коммутирующее с гамильтонианом, которое, кроме того, тривиально действует на многообразие начальных данных?
Да. Легко сделать это с плавными функциями. Невозможно с голоморфным.
@user1504 user1504 Но если симметрия тривиальна для начальных данных и коммутирует с гамильтонианом, то она всегда будет тривиальной, тогда почему она просто не представлена тождественной картой \ тождественным оператором?

Можно ли квантовать системы с локальными (некалибровочными!) симметриями?

Рубен Верресен

СлучайныйПреобразование Фурье

пользователь1504

Прахар

СлучайныйПреобразование Фурье

Рубен Верресен

Qмеханик

Ответы (1)

Давид Бар Моше

пользователь1504

Давид Бар Моше

пользователь1504

Давид Бар Моше

В чем разница между фотоном и фононом?

Какой вывод можно сделать из эффекта Ааронова-Бома?

Небольшая путаница с эффектом Ааронова-Бома

Вырождение уровня Ландау в калибровке симметрии, конечная система

Калибровочная инвариантность и интегралы Фейнмана по путям

Калибровочная ковариантная производная и ее замена

Электронно-фотонное взаимодействие - коммутация AA\mathbf{A} и pp\mathbf{p}

Какая величина является более фундаментальной? Электромагнитное поле FFF или потенциал ААА?

Почему разные векторные потенциалы в задаче об уровнях Ландау приводят к разным квантово-механическим волновым функциям основного состояния?

Эффект Ааронова-Бома в торе