Почему разные векторные потенциалы в задаче об уровнях Ландау приводят к разным квантово-механическим волновым функциям основного состояния?

Рассмотрим заряженную частицу (электрон), движущуюся в плоскости xy под действием магнитного поля, направленного вдоль направления z, т.е. Б → "=" Б г ^ . Как следствие, мы можем записать три разных калибра:

  1. симметричный калибр: А → "=" ( А Икс , А у ) "=" Б 2 ( − у , Икс ) ,
  2. трансляционно-инвариантная калибровка вдоль x: А → "=" Б ( − у , 0 ) , и
  3. трансляционно-инвариантная калибровка вдоль y: А → "=" Б ( 0 , Икс ) .

Как упоминалось ранее и спрашивалось в другом посте « Заряженная квантовая частица в магнитном поле» , ответами были три разные волновые функции основного состояния, возникающие в результате трех вышеперечисленных вариантов выбора калибровки, связанных линейными преобразованиями и приводящих к одному и тому же спектру энергии. Следовательно, все последовательно. Просматривая подробный вывод, например, примечание об уровнях Ландау Хитоши Мураямы , мы видим, что

  1. симметричная калибровка порождает волновую функцию в основном состоянии: ψ н ( г , г ¯ ) "=" Н н г н опыт ⁡ ( − е Б г ¯ г 4 ℏ с ) , где г "=" Икс + я у и г ¯ "=" Икс − я у , пока
  2. А → "=" Б ( 0 , Икс ) приводит к различной волновой функции основного состояния (ненормализованной): ψ 0 ( Икс , у ) "=" опыт ⁡ ( я к у у − е Б 2 ℏ с ( Икс − ℏ с е Б к у ) 2 ) .

Очевидно, что два основных состояния различны, и поэтому | ψ | 2 . Мой вопрос заключается в том, как наш различный выбор манометра, исходящий из одного и того же физического магнитного поля, приводит к разным результатам. | ψ | 2 , даже если это приводит к тому же энергетическому спектру?

Я думаю, вы должны быть осторожны, пытаясь сравнить эти две волновые функции. Как вы знаете, в.ф. о.с. сильно вырождены, поэтому вы можете построить одну в.ф. одной калибровки как суперпозицию в.ф. другой.
@AccidentalFourierTransform: я думаю, что смысл ОП в том, что физические величины не зависят от калибра, и вы можете спросить, почему ⟨ Икс ^ ⟩ будет меняться вместе с манометром, так как меняется wf.
@AccidentalFourierTransform Я знаю это. Но я думаю, что ответ немного тоньше, чем просто сказать «это должно быть калибровочно-инвариантным, так оно и есть».

Ответы (2)

Конечно, такие наблюдения, как | ψ | 2 должны быть калибровочно-инвариантными, а две волновые функции дают OP в двух разных калибровках, очевидно, дают два разных распределения вероятностей.

Разрешение парадокса исходит из того факта, что две волновые функции фактически описывают два разных основных состояния, как это можно увидеть следующим образом. А → 1 "=" Б 2 ( − у , Икс ) и А → 2 "=" Б ( 0 , Икс ) связаны градиентом функции х "=" Б 2 Икс у , А → 2 "=" А → 1 + ∇ х , откуда следует, что для заданной волновой функции ψ 2 трансляционно-инвариантная калибровка вдоль у , ψ 2 "=" Н опыт ⁡ ( я к у у − е Б 2 ℏ с ( Икс − ℏ с е Б к у ) 2 ) , соответствует волновой функции ψ 1 в другом калибре, ψ 1 "=" е я е х ψ 2 . Легко показать, что

ψ 1 "=" Н ′ е к у г − е Б 2 г 2 е − е Б 4 г г ¯ ,
который можно переписать как
ψ 1 "=" ф ( г ) е − е Б 4 г г ¯ ,
и действительно является волновой функцией основного состояния в симметричной калибровке.

Следует помнить, что волновые функции, заданные ОП, являются всего лишь двумя элементами двух базисов (соответствующих двум калибровкам), которые могут описывать сильно вырожденные состояния одной частицы в магнитном поле.

Изменить: чтобы немного уточнить. Две волновые функции в вопросе ОП не описывают одно и то же физическое состояние. Для данного н или к у , все они являются действительными волновыми функциями основного состояния и составляют основу для описания сильно вырожденного основного состояния. Но при смене калибровки обычно не будет отображаться одно базисное состояние одной калибровки в одно базисное состояние новой калибровки, но обычно это будет суперпозиция, как видно из приведенного выше примера.

спасибо за яркое объяснение. Теперь мне ясно, что две в.ф. связаны калибровочным преобразованием. Однако что мы ожидаем увидеть экспериментально? Как вы договаривались, два wf порождают две разные проблемы. расстояние Или мы видим суперпозицию обоих?
@thihakyaw: экспериментально это зависит от того, в каком состоянии вы готовите систему. Скажем, вы каким-то образом готовите его в штате ψ 2 . Тогда вы могли бы сказать, что вы подготовили его в состоянии ψ 1 , так как 1- вы не знаете калибровку, так как она ненаблюдаема, 2- все свойства этих двух состояний одинаковы. Однако, конечно, государство ψ 1 ′ (со своим спутником ψ 2 ′ ) будет отличаться и иметь разные свойства.
еще раз спасибо за объяснение. Я полагаю, что у нас нет контроля над тем, какое состояние подготовить, за исключением того, что мы можем охладить систему до одного из ее многочисленных вырожденных основных состояний. Или у нас действительно есть контроль над тем, с какого состояния начинать? извините за мой настойчивый вопрос, я новичок в этом. Спасибо.
@thihakyaw: Мы могли бы представить себе измерение положения частицы в т "=" 0 . Затем ψ ( Икс ) "=" дельта ( Икс − Икс 0 ) . Затем вы можете разложить дельта-функцию на основу по вашему выбору (например, на основе симметричной калибровки). Затем вы также можете изменить калибр и переписать его с точки зрения основы других калибров. Это все та же физика.
@thihakyaw: см. также мое редактирование, возможно, оно немного проясняет ситуацию.
Теперь я понимаю, почему два трансляционно-инвариантных датчика предпочтительнее, когда в экспериментах используется двумерный ток Холла. Понятно теперь. Спасибо, Адам.
Просто чтобы немного проследить. Могу ли я интуитивно думать, что «изменение калибра соответствует изменению системы отсчета»? @Адам.
@thihakyaw: да, в некотором смысле.

См. старую статью Свенсона в Американском журнале физики (увеличение точно по вышеуказанным вопросам) и новую резолюцию, которая появится в готовящейся статье Г. Константину и К. Мулопулоса.

Ссылаться на будущие статьи — дурной стиль — это просто ни на что не отвечает, и создается впечатление, что вы — один из авторов (так ли это? Самоссылки — это нормально, но вы должны об этом сказать). Кроме того, ваше цитирование более чем неполное (я могу найти пять статей, подходящих под описание), и у нас есть политика, согласно которой вы должны хотя бы в нескольких словах обрисовать содержание статьи, в которой дается ответ на вопрос.
Да, я полностью согласен с Мартином. Не могли бы вы, @user123823, указать старую статью Свенсона? DOI или URL-адрес газеты? У вас также есть ссылка arXiv на статью G. Konstantinou et. др.? Спасибо.
Почему разные векторные потенциалы в задаче об уровнях Ландау приводят к разным квантово-механическим волновым функциям основного состояния?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v