Электронно-фотонное взаимодействие - коммутация AA\mathbf{A} и pp\mathbf{p}

Кулоновский датчик и радиационный датчик — это, по сути, одно и то же. Датчик радиации обычно открыт для ненулевого скалярного потенциала.$\phi$, но это ограничено только электростатическими полями любых присутствующих частиц: в типичном случае у вас будет группа заряженных частиц (например, электронов и ядер в молекуле), взаимодействующих друг с другом посредством их обычных электростатических взаимодействий (плюс любые релятивистские эффекты, которые вам нужно внести), которые затем подвергаются внешнему радиационному полю. Работа в радиационном датчике означает, что это внешнее поле излучения описывается исключительно бездивергентным векторным потенциалом.

Векторный потенциал$\mathbf A(\mathbf r,t)$и импульс$\mathbf p$коммутируют в своем внутреннем произведении тогда и только тогда, когда векторный потенциал находится в этой калибровке, или, более конкретно, тогда и только тогда, когда он подчиняется$\nabla \!\cdot\! \mathbf A(\mathbf r,t)=0$. Чтобы увидеть это, вы просто вычисляете:

$$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)\cdot\mathbf p -\mathbf p\cdot\mathbf A(\mathbf r,t) & =A_j(\mathbf r,t)p_j-p_jA_j(\mathbf r,t) \\ & = i\hbar \frac{\partial A_j}{\partial x_j}(\mathbf r,t) \\ & = i\hbar \nabla \!\cdot\! \mathbf A(\mathbf r,t). \end{align}$$ В общем случае коммутатор $p_i$и $A_j(\mathbf r,t)$дает ненулевую производную потенциала, но сжатие сводит ее к дивергенции. Это, конечно, точно и не опирается на дипольное приближение.