Эффект Ааронова-Бома в торе

У меня было очень краткое введение в эффект Ааронова-Бома в классе. Лектор ввел понятие ЧАС ( Φ "=" Φ 0 ) и ЧАС ( Φ "=" 0 ) дает идентичный энергетический спектр и что гамильтонианы связаны большим калибровочным унитарным преобразованием.

Я быстро погуглил о преобразовании большой калибровки , но я мало что в нем понял, кроме того факта, что это калибровочное преобразование, связанное с топологией. Может ли кто-нибудь объяснить немного больше о том, что это за датчик и как он выполняется?

Кроме того, в системе многих тел со следующим гамильтонианом (1) в трехмерном торе с потоком Φ протыкая отверстие в торе, как показать, что собственные значения энергии ЧАС ( Φ "=" Φ 0 ) и ЧАС ( Φ "=" 0 ) действительно идентичны? Φ 0 "=" час е в этом случае.

(1) ЧАС ( Φ ) "=" Σ Дж 1 2 М ( п Дж → + е Φ л Икс ^ ) 2 + Σ Дж   U ( р Дж → ) + Σ Дж < к   В ( р Дж → − р к → )

Общая идея того, как я буду решать эту проблему, заключается в том, чтобы воздействовать гамильтонианом на волновую функцию, чтобы определить собственное значение энергии, хотя я не уверен, как это сделать явно.

Ответы (1)

Большая трансформация — это трансформация, которая не может быть постоянно связана с трансформацией тождества (с трансформацией, которая ничего не делает) через другие разрешенные трансформации. Таким образом, большие преобразования группируются в «сектора», которые дискретно отделены друг от друга.

В электромагнетизме калибровочные преобразования U ( 1 ) преобразования, параметризованные числом λ ( Икс , у , г , т ) который определяется по модулю 2 π . Заряженные поля интегрального заряда Вопрос трансформировать как

Ψ → е я Вопрос λ Ψ
так что вы можете видеть только это опыт ⁡ ( я λ ) имеет значение: смены λ к 2 π Н где Н е Z являются нефизическими.

В случае эффекта Ааронова-Бома имеет место замкнутый контур. С вокруг соленоида (где локализовано магнитное поле), а соответствующее «большое калибровочное преобразование» определяется выражением

λ "=" ф
где 0 ≤ ф ≤ 2 π - периодическая угловая переменная, параметризующая замкнутый контур С (в простейшей параметризации некоторый угол в осевых или сферических координатах).

Обратите внимание, что хотя это λ не является однозначной функцией пространственно-временных координат Икс , у , г потому что он прыгает, когда ф увеличивается на 2 π (что соответствует возврату в исходную точку пространства), это разрешенное калибровочное преобразование, поскольку λ мод 2 π или, что то же самое, опыт ⁡ ( я λ ) есть однозначная функция пространства, и это все, что нужно. Такое калибровочное преобразование может быть плохо определено внутри контура С т.е. внутри соленоида, однако.

При выполнении этого минимально большого (топологически нетривиального) преобразования калибровочный потенциал А → взимается ∇ ⋅ λ . Контурный интеграл изменяется на 2 π

∮ С г ℓ → ⋅ А → → ∮ С г ℓ → ⋅ А → + 2 π
потому что интеграл является интегралом градиента λ , так что это просто разница λ между начальной и конечной точками, т. 2 π , с точностью до знака. По теореме Стокса ∮ С г ℓ → ⋅ А → то же самое, что и интеграл
∫ Σ Б → ⋅ г С →
над интерьером Σ контура С , т.е. внутри соленоида, поэтому этот магнитный поток скачет на 2 π также.

Я пренебрегал факторами е , с , ℏ выше. С правильными факторами, включенными в предложения выше, скачок магнитного потока равен 2 π ℏ / е в ваших единицах и условностях. Таким образом, две физические конфигурации могут различаться значениями магнитного потока через Σ но они физически эквивалентны, т. е. неразличимы, потому что связаны большим калибровочным преобразованием (хотя оно хорошо определено только вне соленоида).

Я немного пересмотрел, и ваше объяснение помогло мне понять некоторые концепции. Большое спасибо. Думаю, главное, чего мне не хватало, — это преобразование волновой функции при калибровочном преобразовании. Можете ли вы объяснить терминологию «мод 2 π '? Я видел это несколько раз, но я не могу понять его смысл.
Дорогой Шики, А равно Б мод 2 π (или "по модулю 2 π "), если разница между А и Б , т.е. А − Б , является целым числом, кратным 2 π . Так что если А , Б являются углами, показывающими направление в плоскости, они соответствуют одному и тому же направлению, потому что если вы повернетесь на 2 π , вы возвращаетесь в том же направлении.
Хорошо, теперь я понимаю. Просто чтобы подтвердить еще одну вещь, калибровочные преобразования, выполняемые в электромагнетизме, на самом деле являются большими калибровочными преобразованиями?
Эффект Ааронова-Бома в торе
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v