Можно ли рассматривать квантовые поля как суперпозицию классических полей?

В конце моего студенческого курса квантовой механики мы рассмотрели фононы. Вы можете позволить Икс я быть оператором положения n-го квантового гармонического осциллятора и соединить гармонические осцилляторы с потенциалом. Гамильтониан выглядит примерно так:

ЧАС "=" ∑ я ( п я 2 2 м + 1 2 м ю 2 Икс я 2 ) + ∑ я 1 2 м ю 2 ( Икс я − Икс я + 1 ) 2

Вы можете выполнить процедуру повышения и понижения операторов, чтобы найти:

ЧАС "=" ∑ к ℏ ю к ( а к † а к + 1 2 )

и даже понять, что основное состояние в базисе положения выглядит примерно так (без учета точных частот, нормализации и всего такого):

⟨ Икс 1 , ⋯ , Икс Н | ψ ⟩ "=" е − Икс 1 2 − Икс 2 2 − ⋯ − Икс Н 2
или эквивалентно,

| ψ ⟩ "=" ∫ г Н   Икс е − Икс 1 2 − Икс 2 2 − ⋯ − Икс Н 2 | Икс 1 , ⋯ , Икс Н ⟩

The а к † операторы интерпретируются как создающие один фонон в k-й моде.

Приняв континуальный предел, мы проквантовали скалярное волновое уравнение. Я хочу написать что-то вроде следующего для основного состояния:

| ψ ⟩ "=" ∫ Д [ ф ] е − ∫ г г у ф ( у ) 2 | ф ⟩

Я изучаю элементарную квантовую теорию поля, и мне трудно получить прямой ответ, является ли это правильной интерпретацией квантовой теории поля. Для электродинамики у меня были бы коммутирующие наблюдаемые Е → и Б → в каждой точке пространства. (Коммутирующие, потому что я хочу, чтобы они составляли полную основу состояний). Я мог бы представить поле как суперпозицию собственных векторов этих операторов и получить что-то вроде выше. Если Е ( у ) и Б ( у ) являются векторными полями, которые являются собственными значениями вышеуказанных операторов в каждой точке пространства, это означает, что я мог бы представить запись любого квантового состояния моей квантованной электродинамики как что-то вроде:

| ψ ⟩ "=" ∫ Д [ ( Е , Б ) ] ф ( Е , Б ) | ( Е , Б ) ⟩

где шесть компонент векторного поля ( Е ( у ) , Б ( у ) ) играть ту же роль, что и ф ( у ) сделал в предыдущем примере, и как ( Икс 1 , ⋯ , Икс Н ) сделал в примере до этого. ф ( Е , Б ) будет комплексным числом, которое является функционалом полей Е и Б .

Конечно, я ожидаю неопределенности, бесконечностей и отсечек, необходимых везде, но интуитивно ли это то, что происходит при определении квантовых полей?

Я думаю, это называется волновым функционалом; это относится к обычной картине КТП, как картина Шредингера к картине Гейзенберга в КМ. К сожалению, я знаю не больше, чем имя.
Однако я не уверен, что это дает лучшую физическую картину состояния квантового поля. Волновое функциональное пространство действительно многомерно.
Вопросы по теме: physics.stackexchange.com/questions/248754/… и ссылки внутри.
Связанный вопрос 312006 .
Действительно, ваше основное состояние |ψ> точное: бесконечное тензорное произведение гауссианов основного состояния осциллятора, каждый из которых похож на | 0 ⟩ "=" ∫ г Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс | 0 ⟩ ∼ ∫ г Икс   опыт ⁡ ( − Икс 2 / 2 )   | Икс ⟩ . Функциональные характеристики Гаусса во всех вступлениях волновых функций Шра. Для общего |ψ> см. ссылку.

Ответы (2)

Как указано в некоторых комментариях, весовой функционал внутри функционального интеграла иногда называют волновым функционалом. Этот тип функционального представления можно назвать функциональным представлением Шредингера. Пожалуйста, ознакомьтесь со следующим обзором Романа Джекива.

Для общей теории взаимодействующих полей точное решение для этого волнового функционала, конечно, неизвестно. Но обоснованное предположение о приближенном волновом функционале с, возможно, конечным числом свободных параметров может привести к полезным приближенным решениям.

Этот метод был предложен Jackiw в вышеупомянутом обзоре. Этот вариационный метод использовался для воспроизведения результатов теории возмущений КЭД и КХД. (Пожалуйста, посмотрите эту статью Хайнемана, Янку, Мартина, Вотерина).

Вариационный подход активно изучается для объяснения удержания кварков. См. недавнюю работу Вастага, Рейнхардта и Кампаньяри. Однако в 3+1 измерениях трудно работать без фиксации калибровки, что ставит под сомнение непертурбативные выводы из проблемы Грибова. В большинстве случаев пробный волновой функционал принимается гауссовым.

Весьма вероятно, что этот метод может быть адаптирован ко всем моделям в измерениях 1+1, которые могут быть решены с помощью преобразования Боголюбова.

Кроме того, известно негауссовское решение чистой теории Янга-Миллса, известное как состояние Кодама, задаваемое экспонентой функционала Черна-Саймонса. Это решение в точности удовлетворяет функциональному уравнению Шредингера. Этот волновой функционал считается нефизическим, однако см. следующую статью Виттена, в которой описаны некоторые интересные свойства этого состояния.

Квантовая теория поля, определяемая лагранжианом и граничными условиями, может привести к различным решениям, каждое из которых описывает неэквивалентное квантование. Таким образом, существует вероятность того, что эти разные квантования соответствуют разным решениям вакуумных волновых функционалов, поэтому решения функциональных уравнений Шредингера, вероятно, не уникальны.

Спасибо за такое количество источников! На моем уровне мне трудно понять последний абзац. Под квантованием классической системы я понимаю соответствующий лагранжиан (в смысле интеграла по траекториям) или гамильтонов оператор. Вы имеете в виду, что у вас есть одно квантование, но несколько основных состояний? Или, альтернативно, один гамильтониан/лагранжиан, но несколько действительных операторов временной эволюции?
Я имел в виду, что возможно, что решение функционала Шредингера не единственно, и любое из этих решений может описать возможную квантовую систему.

Я хотел прямо ответить на ваш последний вопрос.

Да, здесь вы на правильном пути. Вы должны ожидать, что для любой квантовой теории поля существует набор наблюдаемых (очень похожих на координатные операторы). Икс я в квантовой механике точечных частиц), собственные векторы которого составляют основу гильбертова пространства. Эти наблюдаемые должны быть даже локальными наблюдаемыми, такими как наблюдаемые значения скалярного поля с нулевым временем. ф ( Икс → , 0 ) .

Есть два источника осложнений.

Во-первых, необходим аналитический мелкий шрифт, чтобы иметь дело с тем фактом, что местоположения наблюдаемых Икс → являются непрерывными. Это приводит к распределениям, регуляризации и бесконечностям.

Во-вторых, большинство интересных КТП имеют ограниченную динамику. Для скалярной теории поля вам повезло, и вы можете (по модулю аналитического мелкого шрифта) охватить гильбертово пространство собственными векторами наблюдаемых значений поля. ф ( Икс → , 0 ) . Но для большинства других лагранжевых КТП (Дирака, Максвелла, Янга-Миллса и их различных комбинаций) ограничения подразумевают, что «основа» всех одновременных собственных векторов операторов значений поля является сверхполной или некогерентной. (Например, предлагаемый вами базис значений электрического и магнитного полей имеет слишком много степеней свободы. Электрическое поле — это, по сути, переменная импульса, сопряженная с векторным потенциалом. Использование его в дополнение к операторам значений B равносильно попытке гильбертово пространство точечных частиц с операторами импульса и положения.)

Можно ли рассматривать квантовые поля как суперпозицию классических полей?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v