Квантование поля Клейна-Гордона (что там за оператор рождения и что за уничтожение)

Недавно в моем классе мы изучали квантование полей, и я размышляю над аргументом/мотивацией построения квантования поля Клейна-Гордона. Напомним, что «классическое» поле Клейна-Гордона является решением уравнения Клейна -Гордона и имеет вид

$$\phi(\vec{x},t) = \int c \cdot d^3p\left[a(\vec{p})\mathrm{e}^{+i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt)} + b(\vec{p})\mathrm{e}^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt))}\right]$$

где$c$является подходящей константой нормализации и$a(\vec{p})$и$b(\vec{p})$являются коэффициентами разложения по собственному векторному базису гамильтониана. Когда мы квантуем$a(\vec{p})$и$b(\vec{p})$стать операторами$\hat{a}(\vec{p})$и$\hat{b}(\vec{p})$в

$$\hat{\phi}(\vec{x},t) = \int c \cdot d^3p\left[\hat{a}(\vec{p})\mathrm{e}^{+i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt)} + \hat{b}^(\vec{p})\mathrm{e}^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-E_pt))}\right]$$

и на лекции мы назвали$\hat{a}(\vec{p})$оператор "создание" и$\hat{b}(\vec{p})$оператор "уничтожения". Но почему не наоборот? я не понимаю почему$\hat{a}(\vec{p})$теперь создание и$\hat{b}(\vec{p})$уничтожение. Поэтому почему творение соответствует возведению в степень с отрицательным знаком, а уничтожению — положительному, а не наоборот?

В качестве «причины» или, скажем так, мотивации мой лектор объяснил это следующим образом:

Если мы рассмотрим процесс с начальным состоянием, описываемым волновой функцией$\phi_i e^{-iE_it}$и конечное состояние, описываемое волновой функцией$\phi_f e^{-iE_ft}$и мы хотим вычислить амплитуду вероятности тогда, когда мы интегрируем по$\int_{-\infty}^{+\infty} dt \int d^3 \vec{x}$подынтегральная функция определяется выражением

$$(\phi_f e^{-iE_if})^* \hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it} = (\phi_f)^* e^{+iE_if}) \hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it}$$

Таким образом, экспонента конечного состояния комплексно сопряжена. В этом морально «содержится» причина, по которой оператор созидания соответствует возведению в степень с отрицательным знаком и уничтожению с положительным знаком. Конечно, как добавил лектор, это не формальное доказательство, а мотивация, почему такой выбор может быть «разумным».

К сожалению, я не был достаточно умен, чтобы понять, почему это элементарное наблюдение над подынтегральным выражением, которое я набросал выше, дает подсказку, почему оператор рождения соответствует возведению в степень с отрицательным знаком и уничтожению с положительным знаком, а не наоборот. Я думаю, что существенным ингредиентом для решения проблемы является понимание того,$\phi_i e^{-iE_it}$является произвольным начальным состоянием, то что

$$\hat{\phi}(\vec{x},t) \phi_i e^{-iE_it}~?$$

Предположим, что начальное состояние$|0\rangle$. Что$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle$? Моя надежда$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$поскольку хорошо известное соотношение между собственными векторами импульса и операторами места дает$\langle p | |\vec{x} \rangle = e^{-i px}$. Так что если$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$тогда действительно мы можем заключить, что$\hat{a}(\vec{p})$является оператором создания с$\hat{a}(\vec{p}) |0\rangle= |p \rangle$. Но для этого нужно убедиться, что$\hat{\phi}(\vec{x},t) |0\rangle = |\vec{x}\rangle$это правда, но это не ясно для меня.

Есть ли у кого-нибудь идеи, что, возможно, имел в виду мой лектор, делая этот набросок, и как это наблюдение дает подсказку / мотивацию, почему при квантовании поля Клейна-Гордона операторы рождения и уничтожения были выбраны именно таким образом, а не наоборот? Я понятия не имею, как этот эскиз оправдывает выбор.

В physics.stackexchange я нашел пару вопросов, связанных с похожими проблемами, такими как здесь , здесь или здесь . Мотивация моего вопроса в первую очередь состоит в том, чтобы понять, почему очерк моего лектора, который я пытался воспроизвести выше, дает «причину» или, по крайней мере, «намек», который отвечает на мою проблему.