Представления группы Лоренца в КТП: что такое векторное пространство?

Question

Представления группы Лоренца в КТП: что такое векторное пространство?

Физика
теория групп
Лоренц-симметрия
квантовая теория поля
групповые представления
теория представлений

ззз

В QFT представление группы Лоренца определяется следующим образом:

U^{†} (Λ) ф (Икс) U (Λ) знак равно р (Λ) ф (Λ^{- 1} Икс)

$U^\dagger(\Lambda)\phi(x) U(\Lambda)= R(\Lambda)~\phi(\Lambda^{-1}x)$ Где

Λ

$\Lambda$ является элементом группы Лоренца,

ϕ (x)

$\phi(x)$ представляет собой квантовое поле с, возможно, многими компонентами,

U

$U$ является унитарным, и

R

$R$ элемент в представлении группы Лоренца.

Мы знаем, что представление — это отображение группы Ли на группу линейных операторов в некотором векторном пространстве. Мой вопрос: для представления, указанного выше, каково векторное пространство, на которое действует представление?

Наивно может показаться, что это представление действует на множество полевых операторов, т.к. $R$ отображает некоторый оператор $\phi(x)$ другому полевому оператору $\phi(\Lambda^{-1}x)$ , и если мы в общих чертах определим полевые операторы как вещи, которые вы получаете от канонического квантования классических полей, мы, возможно, сможем убедить себя, что это действительно векторное пространство.

Но затем мы вспоминаем, что размерность представления — это просто размерность пространства, на которое оно действует. Это означает, что если мы возьмем $R$ быть в $(1,1)$ синглетное представление, это представление размерности 1, следовательно, его целевое пространство имеет размерность 1. Тогда, если мы возьмем целевое пространство в пространство полей, это означает $\phi(x)$ а также $\phi(\Lambda x)$ связаны линейными факторами, в чем я, конечно, не убежден. РЕДАКТИРОВАТЬ: это может работать, если мы просматриваем набор всех $\phi$ как поле, над которым мы определяем векторное пространство, см. добавленный раздел ниже.

Я полагаю, что другой способ сформулировать вопрос таков: все мы знаем, что скалярные поля и векторные поля в КТП получили свои названия из-за того, что при преобразованиях Лоренца скаляры преобразуются как скаляры, а векторы преобразуются как векторы. Я хотел бы сформулировать утверждение «скалярное поле преобразуется как скаляр», точно описав целевое векторное пространство скалярного представления группы Лоренца, как это можно сделать?

ДОБАВЛЕН РАЗДЕЛ :

Позвольте мне привести явный пример того, чего я пытаюсь добиться: возьмем левостороннее спинорное представление, $(2,1)$ . Это двумерное представление. Мы знаем, что действует на такие вещи, как $(\phi_1,\phi_2)$ .

Назовем пространство, состоящее из вещей вида $(\phi_1,\phi_2)$ $V$ . Является $V$ 2-мерный?

Рассматриваемая как классическая теория поля, да, потому что каждая $\phi_i$ просто скаляр. В квантовой теории поля каждая $\phi_i$ является оператором.

Мы видим, что для того, чтобы $V$ Чтобы пространство после квантования стало двумерным, нам нужно иметь возможность рассматривать скалярные квантовые поля как скалярные множители векторов в $V$ . т.е. нам нужно просмотреть $V$ как векторное пространство, определенное над (математическим) полем (квантовых) полей.

Поэтому мы должны проверить, удовлетворяет ли набор (квантовых) полей (математическим) аксиомам поля. Кто-нибудь может это проверить? Коммутативность, по-видимому, сохраняется, если мы, как в квантовой механике, предположим, что поля и их комплексно-сопряженные существуют в присоединенных векторных пространствах, а не в одном и том же. Проверка замыкания при умножении потребовала бы некоторого аксиоматического определения того, что такое квантовое поле.

Любопытный Разум

И это снова я, придираюсь к вашему вопросу ;) Что такое

U

$U$ ? Вы уверены, что определение репрезентации не таково: «При преобразовании Лоренца

x \mapsto Λ x

$x \mapsto \Lambda x$ , поля преобразуются как

ϕ (x) \mapsto R (Λ) ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(x) \mapsto R(\Lambda)\phi(\Lambda^{-1}x)$ ." ? (Также, конечно,

ϕ (x)

$\phi(x)$ а также

ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(\Lambda^{-1}x)$ связаны линейным коэффициентом, коэффициент равен

1

$1$ - скалярное поле не меняется при лоренцевом трафосе )

ззз

Как я это понимаю:

U

$U$ трансформирует

ϕ

$\phi$ как будто это оператор в пространстве состояний,

R

$R$ трансформирует

ϕ

$\phi$ как будто это что-то в

R

$R$ целевое векторное пространство. Так

U

$U$ есть представление на пространстве состояний в теории поля, где

R

$R$ является представлением некоторой структуры, включающей поля, и именно то, что представляет собой эта структура, является содержанием моего вопроса.

ззз

Нет

ϕ (x)

$\phi(x)$ а также

ϕ (Λ^{- 1} x)

$\phi(\Lambda^{-1}x)$ , вообще говоря, разные операторы, скаляры не преобразуются в том смысле, что форма инвариантна, а не в том смысле, что поле везде постоянно. Например, если операторное значение поля одинаково для каждой координаты в пространстве-времени, в коммутационных соотношениях не должно быть дельта-функций!

Любопытный Разум

Вы неправильно поняли, что я (неуклюже) имел в виду под «не меняется». Постараюсь написать ответ.

ззз

Да, точное утверждение этой инвариантности с точки зрения целевого векторного пространства представителя Лоренца - это как раз мой вопрос.

Ответы (1)

Представления группы Лоренца в КТП: что такое векторное пространство?

И это снова я, придираюсь к вашему вопросу ;) Что такое $U$ ? Вы уверены, что определение репрезентации не таково: «При преобразовании Лоренца $x \mapsto \Lambda x$ , поля преобразуются как $\phi(x) \mapsto R(\Lambda)\phi(\Lambda^{-1}x)$ ." ? (Также, конечно, $\phi(x)$ а также $\phi(\Lambda^{-1}x)$ связаны линейным коэффициентом, коэффициент равен $1$ - скалярное поле не меняется при лоренцевом трафосе )
Как я это понимаю: $U$ трансформирует $\phi$ как будто это оператор в пространстве состояний, $R$ трансформирует $\phi$ как будто это что-то в $R$ целевое векторное пространство. Так $U$ есть представление на пространстве состояний в теории поля, где $R$ является представлением некоторой структуры, включающей поля, и именно то, что представляет собой эта структура, является содержанием моего вопроса.
Нет $\phi(x)$ а также $\phi(\Lambda^{-1}x)$ , вообще говоря, разные операторы, скаляры не преобразуются в том смысле, что форма инвариантна, а не в том смысле, что поле везде постоянно. Например, если операторное значение поля одинаково для каждой координаты в пространстве-времени, в коммутационных соотношениях не должно быть дельта-функций!
Вы неправильно поняли, что я (неуклюже) имел в виду под «не меняется». Постараюсь написать ответ.
Да, точное утверждение этой инвариантности с точки зрения целевого векторного пространства представителя Лоренца - это как раз мой вопрос.

джошфизика · Answer 1

Если $\mathcal H$ является гильбертовым пространством КТП, то

\begin{aligned} U : С О (3, 1) \to U (ЧАС) \end{aligned}

$\begin{align} U:\mathrm{SO}(3,1)\to \mathscr U(\mathcal H) \end{align}$ куда

U (H)

$\mathscr U(\mathcal H)$ множество унитарных операторов на

H

$\mathcal H$ . Другими словами,

U

$U$ является унитарным представлением на гильбертовом пространстве теории. Если

V

$V$ является целевым пространством полей, тогда

\begin{aligned} р : С О (3, 1) \to грамм л (В), \end{aligned}

$\begin{align} R:\mathrm{SO}(3,1)\to \mathrm{GL}(V), \end{align}$ куда

G L (V)

$\mathrm{GL}(V)$ — векторное пространство обратимых линейных операторов на

V

$V$ . Другими словами,

R

$R$ является представлением на целевом пространстве полей в теории. Отображение

\begin{aligned} Икс \to Λ Икс \end{aligned}

$\begin{align} x\to \Lambda x \end{align}$ является определяющим представлением

S O (3, 1)

$\mathrm{SO}(3,1)$ на

R^{3, 1}

$\mathbb R^{3,1}$ . Утверждение о том, что поле преобразуется определенным образом, а именно записанное вами уравнение, просто говорит о том, что действие сопряжением группы Лоренца на операторы поля посредством

U

$U$ согласуется с композицией представления в целевом пространстве и инверсией определяющего представления.

Можете ли вы более четко указать, что вы звоните $V$ ? Под «целевым пространством полей» вы подразумеваете «целевое пространство, состоящее из полей»?
@бечира. Да. Это просто кодовый домен функции $\phi$ . А именно $\phi:\mathbb R^{3,1}\to V$ . Так, например, для скалярного поля $V = \mathbb R$ . Для векторного поля $V = \mathbb R^{3,1}$ . Для тензорного поля ранга $(k,\ell)$ , $V = T^k_\ell(\mathbb R^{3,1})$ где это последнее обозначение как раз и означает векторное пространство тензоров ранга $(k,\ell)$ на $\mathbb R^{3,1}$ .
Пожалуйста, смотрите обновление моего вопроса. Я думаю, что в классической теории поля это очевидно, меня больше всего беспокоит, верно ли то же самое в квантовой теории.
Я думаю, что в этом ответе вы только что сказали то, что я сказал в своем первом комментарии в разделе комментариев.
@bechira Думаю, теперь я понимаю ваш вопрос. Вы правы, мой последний комментарий справедлив только в классическом случае. В квантовом случае целевое пространство является более сложным, поскольку поля имеют операторные значения. Фактическим целевым пространством будет пространство, например, тензорных операторов в случае тензорного поля и т. д. Формализация этого была содержанием вопроса, который я сам задал некоторое время назад и который вы, вероятно, найдете разъясняющим. физика.stackexchange.com/questions/73532/tensor-operators
@bechira Однако я должен добавить, что даже если значения полей довольно сложны, то же самое представление $R$ все еще может использоваться для описания преобразования целевого пространства. Я думаю, что самый простой способ увидеть это — заметить, что в заданном базисе индексы тензорных операторов преобразуются так же, как индексы тензоров. На самом деле, в этом вся суть тензорных операторов, а именно в том, что их индексы преобразуются так же, как и их «классические» аналоги.
Да, я вижу утилиту, меня беспокоит, есть ли такие $R$ остается допустимым представлением в обычном смысле.
@bechira Да, это так. Это точно такое же представление, как и в классическом случае. Тот факт, что поля являются операторнозначными, не меняет того факта, что «индексы преобразуются» указанным образом, а именно в соответствии с представлением, которое действует на целевом пространстве классических полей.
Но действует ли представление размерности N по-прежнему в векторном пространстве размерности N , если у нас нет четко определенного «скалярного умножения на поля с операторным значением»?
@joshphysics Мне всегда нравятся твои посты, потому что ты пишешь отличный контент. Но я думаю, что вы можете быть немного небрежным здесь: то, что вы называете " $\mathrm{Lin}(V)$ " не совсем кодовый домен для группового представления (он должен быть $\mathrm{GL}(V)$ -- множество всех обратимых линейных операторов на $V$ ). Всего лишь небольшая деталь...
@AlexNelson Я очень ценю похвалу и внимательное чтение моих ответов, чтобы убедиться, что я не делаю небрежных вещей. К счастью, в данном случае я не думаю, что был небрежен. Напомним, что кодовый домен должен быть только надмножеством диапазона. en.wikipedia.org/wiki/Codomain Тем не менее, я изменю его, потому что $\mathrm{GL}(V)$ безусловно, более информативен, так как это меньший кодовый домен.
@AlexNelson Между прочим, теперь, когда мы запустили этот поезд восхвалений, я тоже так думаю о ваших постах. Рад, что ты на SE.

Представления группы Лоренца в КТП: что такое векторное пространство?

ззз

Любопытный Разум

ззз

ззз

Любопытный Разум

ззз

Ответы (1)

джошфизика

ззз

джошфизика

ззз

ззз

джошфизика

джошфизика

ззз

джошфизика

ззз

джошфизика

Алекс Нельсон

джошфизика

джошфизика

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

(A,B)(A,B)(A,B)-представление группы Лоренца: коэффициентные функции полей

Можно ли разложить алгебру Ли sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}) в прямую сумму двух sl(2,R)sl(2,R)sl(2,\mathbb {Р})?

Почему бесконечномерные представления группы Пуанкаре не классифицируются двумя полуцелыми числами?

Прямой продукт против тензорного продукта

Векторные пространства для неприводимых представлений группы Лоренца

Доказательство того, что (1/2,1/2)(1/2,1/2)(1/2,1/2) представление группы Лоренца является 4-векторным

О различных представлениях группы Лоренца и ее определяющих свойствах

От представлений к теориям поля

Конечномерные представления группы Лоренца