Известно, что для задания конечномерного неприводимого представления группы Лоренца необходимо указать два полуцелых числа, . Например, левосторонний и правосторонний спиноры Вейля являются неэквивалентными представлениями, несмотря на то, что оба имеют половинный спин. Здесь 4-векторное представление, а 2-форма представления.
В КТП при классификации возможных типов частиц, которые могут существовать, мы ищем унитарные (бесконечномерные) неприводимые представления группы Пуанкаре. Здесь нам нужно указать массу и один «спин» . Таким образом, привязывая массу к некоторому заданному числу, оказывается, что разрешено меньше типов частиц, чем можно было бы предположить в конечномерных представлениях. Например, существует только один тип получастиц со спином, . Это левый фермион Вейля или правый фермион Вейля, или что-то еще?
В более общем смысле, как мы должны интерпретировать «типы частиц», данные нам представлениями бесконечномерной группы Пуанкаре, в терминах «типов частиц», данных нам представлениями конечномерной группы Лоренца?
Мои мысли: можно показать, что Казимиры, используемые при классификации представлений группы Лоренца, не коммутируют с Пуанкаре Казимир. Это может означать, что когда мы расширяем нашу группу от Лоренца до Пуанкаре, мы получаем новые преобразования, которые могут смешивать состояния внутри старых представлений, так что новые неприводимые представления также должны быть расширены. Но я не понимаю, как трансляция (за которой следует любая комбинация ускорений или вращений) может превратить левосторонний спинор Вейля в правосторонний.
Я думаю, что большая часть путаницы происходит из-за того, что путают то, на что обычно действуют группы Лоренца и Пуанкаре. Когда мы говорим о лоренцевских иррепрезентациях, мы обычно имеем в виду конечномерные неунитарные иррепрезентации в пространстве полей, а когда мы говорим о иррепрезентациях Пуанкаре, мы обычно имеем в виду бесконечномерные унитарные иррепрезентации в гильбертовом пространстве.
Начиная с группы Пуанкаре, действующей в гильбертовом пространстве, мы можем ограничиться группой Лоренца (также действующей в гильбертовом пространстве). Как вы указали, ограничение группы в целом приводит к развалу иррепов, и это именно то, что происходит, потому что мы потеряли способность выполнять переводы; мы получаем разные ирповины, примерно соответствующие тому, где могла бы быть частица. Но они вовсе не связаны с лоренцевскими иррепрезентациями полей; вместо этого они являются бесконечномерными иррепрезентациями группы Лоренца. Вы можете прочитать об этих ужасных вещах здесь , и я лично узнал об этих вещах из превосходной книги по теории групп Ву-Ки Танга .
Процедура перехода от полей к частицам такова:
В частности, ничего не «пропадает», каждое поле дает частицы, как мы и ожидали. Например:
Обратите внимание, что лоренцевское представление полей, спинор Вейля, дает разложимое представление Пуанкаре о частицах, хотя группа Пуанкаре больше. Физически это связано с тем, что у нас есть отдельные частица и античастица, и поле может генерировать и то, и другое.
ZeroTheHero