Настройка проблемы

Предположим, у нас есть два маятника одинаковой длины.$l$, и строка со строковой константой$k$что их связывает, то уравнения движения имеют вид

$$\ddot{\theta_1} = - \frac{g}{l} \theta_1 - \frac{kl}{m}(\theta_1 - \theta_2) + F_1(t) \>,\\ \ddot{\theta_2} = - \frac{g}{l} \theta_2 + \frac{kl}{m}(\theta_1 - \theta_2) + F_2(t) \>,$$ где $\theta_1$и $\theta_2$– угловые перемещения маятников 1 и 2 соответственно. Мы также предположили, что колебания малы и что пружина имеет естественную длину, когда оба маятника вертикальны, поэтому растяжение пружины равно $l(\theta_1 - \theta_2)$. Окончательно, $F_1(t)$и $F_2(t)$движущие силы, действующие на каждый маятник. В вопросе вы предложили две ситуации, обе имеют $F_2 = 0$. Первая ситуация имеет $F_1 = f_0 \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t-t_0)$, где $\operatorname{III}_T(t)$– гребенчатая функция Дирака периода $T$, а вторая ситуация имеет $F_1 = f_0 \sin(\omega t+ \phi)$. Затем мы хотим выяснить, как система реагирует на движущие силы с разными частотами. $\omega$, в частности, что происходит, когда $\omega = \omega_1, \omega_2, (\omega_2-\omega_1)/2$.

Чтобы немного упростить форму модели, перепишем ее в нормальных координатах. Как подсказывает нам наша интуиция, нормальные моды должны соответствовать тому, когда маятник качается в фазе, а когда — в противофазе.$\pi$. Отсюда мы знаем, что нормальные координаты$q_1 = (\theta_1 + \theta_2)/2$и$q_2 = (\theta_1 - \theta_2)/2$, соответствующие нормальным частотам$\omega_1^2 = g/l$и$\omega_2^2 = g/l + 2 kl/m$. Таким образом, мы можем переписать систему как

$$\ddot{q_1} + \omega_1^2 q_1 = \frac{F_1 + F_2}{2} \>,\\ \ddot{q_2} + \omega_2^2 q_2 = \frac{F_1 - F_2}{2} \>.$$ Во-первых, если мы установим обе движущие силы равными нулю, мы можем просто решить два несвязанных уравнения гармонического осциллятора и получить, $$q_1(t) = C_1 \cos\omega_1 t + C_2\sin\omega_1 t \>,\\ q_2(t) = C_3 \cos\omega_2 t + C_4\sin\omega_2 t \>,$$ где $C_1, C_2, C_3, C_4$можно определить из начальных условий. Мы будем называть эти решения $\bar{q}_1(t)$и $\bar{q}_2(t)$позже для упрощения обозначений.

Синусоидальное вождение

Эту систему на самом деле не так уж сложно решить, если движущей силой является синусоида или дельта-функция, но зачем трудиться, если Mathematica может помочь? Во второй ситуации (синусоидальное движение), полагая$\omega\neq \omega_1$или$\omega_2$, у нас есть

$$q_1(t) = \bar{q}_1(t) - \frac{f_0}{2(\omega^2 - \omega_1^2)} \sin(\omega t+\phi) \>,\\ q_2(t) = \bar{q}_2(t) - \frac{f_0}{2(\omega^2 - \omega_2^2)} \sin(\omega t+\phi) \>,$$ Это решение свободного осциллятора с дополнительной синусоидой на частоте движущей силы, добавленной к каждой моде. Обратите внимание, что все эти условия ограничены, поэтому амплитуда также ограничена. Однако мы также можем видеть, что когда $\omega\rightarrow \omega_1$или $\omega_2$, член, возникающий в результате вождения, достигает бесконечности, что является признаком резонанса. Теперь, если мы решим уравнение с $F_1 = f_0 \sin(\omega_1 t+\phi)$, решение $q_2$не меняется, а $q_1$становится $$q_1(t) = \bar{q}_1(t) + \frac{f_0}{8\omega_1^2}\sin(\omega_1 t + \phi) - \frac{f_0}{4\omega_1} t \cos(\omega_1 t + \phi) \>.$$ Условия в результате вождения изменились. Обратите внимание, что последний член содержит множитель $t$, что означает неограниченное возрастание амплитуды колебаний . $\omega=\omega_2$случай очень похож, когда решение $q_2$это просто приведенный выше результат с $\omega_1$заменен на $\omega_2$. Теперь, что происходит, когда $\omega=(\omega_2 - \omega_1)/2$? Ну, это точно так же, как и в случае вне резонанса выше, с $\omega$заменен на $(\omega_2-\omega_1)/2$. Поскольку при этом значении не возникает сингулярности, это не вызовет численных трудностей. Итак, краткий ответ на ваш вопрос в заголовке: нет.

Дельта-функция и управление гребенкой Дирака

Переходим к случаю дельта-функции. Прежде чем мы перейдем к довольно сложному случаю гребенки Дирака, давайте сначала посмотрим на результат импульса дельта-функции при$t_0$,$F_1 = f_0 \delta(t-t0)$. Результаты

$$\begin{gather} q_1(t) = \bar{q}_1(t) + \frac{f_0}{2\omega_1} H(t-t_0) \sin \omega_1(t-t_0) \>,\\ q_2(t) = \bar{q}_2(t) + \frac{f_0}{2\omega_2} H(t-t_0) \sin \omega_2(t-t_0) \>, \end{gather}$$ где $H(t)$— ступенчатая функция Хевисайда . По сути, дельта-импульс вводит некоторую энергию в систему в то время, когда он применяется, и немного меняет амплитуду, но не вводит новые частоты.

Для полной функции гребенки Дирака мы имеем

$$\begin{gather} \begin{split} q_1(t) & = \bar{q}_1(t) - \cos \omega_1 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_1} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\sin\omega_1 t' d t' \\ & \quad + \sin \omega_1 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_1} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\cos\omega_1 t' d t' \>, \end{split} \\ \begin{split} q_2(t) & = \bar{q}_2(t) - \cos \omega_2 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_2} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\sin\omega_2 t' d t' \\ & \quad + \sin \omega_2 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_2} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\cos\omega_2 t' d t' \>. \end{split} \end{gather}$$ Это выглядит немного устрашающе, но помните, что гребенка Дирака — это просто сумма набора дельта-функций, поэтому подынтегральная функция здесь принимает ненулевые значения только в дискретных точках, т. е. когда $t' = t_0 + \frac{2\pi}{\omega} k$. По сути, нам просто нужно посчитать, сколько из этих точек находится между $1$и $t$. Таким образом, мы имеем результат $$\begin{gather} q_1(t) = \bar{q}_1(t) +\frac{f_0}{2\omega_1} \sum_{k\in \mathcal K(t)} H\left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \sin \omega_1 \left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \>,\\ q_2(t) = \bar{q}_2(t) +\frac{f_0}{2\omega_2} \sum_{k\in \mathcal K(t)} H\left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \sin \omega_2 \left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \>, \end{gather}$$ где $\mathcal K(t)$это набор значений для $k$такой, что $t_0 + \frac{2\pi}{\omega} k$лежит между $1$и $t$.

Давайте интерпретируем это решение. Формально это выглядит так же, как суммирование дополнительных членов из решений дельта-импульса с$t_0$принимающие разные значения. Это означает, что каждый раз$2\pi/\omega$единиц времени, дельта-импульс попадает и добавляет синусоидальную волну к исходному колебанию, всегда с нормальной частотой$\omega_i$, и всегда с одной и той же амплитудой$f/2\omega_i$($i = 1, 2$).

Важно понимать, что каждое из этих добавленных колебаний имеет фазовый сдвиг.$2\pi\frac{\omega_i}{\omega}$от предыдущего. Если$\omega_i/\omega$не является целым или рациональным числом, при наличии достаточного времени фазовый сдвиг приведет к тому, что добавленные колебания усреднят друг друга. Если$\omega_i/\omega$является целым или рациональным числом, то через определенное количество циклов фазовый сдвиг вернется к ранее принятому значению. ( Поправка: даже если это рациональное число, волны со сдвигом по фазе все равно будут давать в сумме ноль, поэтому для возникновения резонанса$\omega$должно быть целым числом, кратным$\omega_i$, что подтверждает аргумент в теле вопроса. ) Это означает, что добавленное колебание окажет чистый эффект на систему и в конечном итоге увеличит энергию системы. (Это должно напомнить нам толкание кого-то на качелях. Если вы толкаете с частотой, не соответствующей собственной частоте качелей, вы не заставите их работать.) Эффект наиболее сильный, когда соотношение$\omega_i/\omega$является$1$, потому что в этом случае каждый период дельта-импульса срабатывает в одно и то же время, и совокупный эффект является наибольшим.

Это более или менее соответствует резонансу, который мы наблюдаем в случае синусоидального возбуждения. У нас все еще есть сильный резонанс в$\omega_1$или$\omega_2$, но и на многих других частотах. Если мы установим частоту возбуждения на$(\omega_2 - \omega_1)/2$, то отношение частот$2\omega_i/(\omega_1 - \omega_2)$является рациональным числом только тогда, когда$\omega_1$и$\omega_2$являются рациональными кратными друг другу. Следовательно, в отличие от синусоидального случая, возбуждение гребенки Дирака может возбуждать систему на разности частот, при условии, что соотношение между собственными частотами системы рационально.

Резонанс

После всех этих вычислений давайте рассмотрим концепцию резонанса. Согласно Википедии ,

В физике резонанс — это явление, при котором вибрирующая система или внешняя сила заставляет другую систему колебаться с большей амплитудой на определенной предпочтительной частоте. Частоты, при которых амплитуда отклика является относительным максимумом, известны как резонансные частоты системы или резонансные частоты. На резонансных частотах небольшие периодические движущие силы способны вызывать колебания большой амплитуды.

В типичном управляемом демпфированном генераторе резонансная частота соответствует приведенному выше определению как частота движущей силы, которая создает максимальную амплитуду, но это определение не совсем применимо к незатухающим генераторам. Амплитудная характеристика затухающего генератора равна

$$\alpha(\omega) \sim \left(\frac{\omega_0^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}\right)^{1/2} \>.$$ Здесь $\omega_0$собственная частота системы, $\omega$частота возбуждения, $\gamma$является коэффициентом демпфирования. Это выражение достигает максимума при $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2/2}$. Если бы мы сразу установили $\gamma$к нулю, однако мы видим, что амплитудная характеристика достигает бесконечности при $\omega_0$, и это действительно то, что мы наблюдали и в связанной системе. Что происходит тогда? Как оказалось, поскольку демпфирования нет, система не рассеивает энергию, поэтому на резонансной частоте амплитуда просто продолжает расти. Это подтверждает приведенный выше расчет.

Ваша попытка проиллюстрировать резонанс добавлением волн различных частот не имеет смысла. Движущая сила не диктует напрямую, как колеблется осциллятор. Мы не можем определить форму волны результирующего колебания, просто сложив форму волны движущей силы и собственных колебаний. Мы должны решить уравнение движения, чтобы получить результирующую форму волны.

Сторона 1: функции Грина

Обычно, когда нас интересует реакция системы на какую-то внешнюю силу, мы вызываем функцию Грина . На самом деле, говоря довольно упрощенно, функция Грина находится путем расчета реакции системы на импульс дельта-функции, поэтому мы действительно столкнулись с ней здесь. Вычислить функцию Грина для связанной системы несколько сложнее, так как дифференциальное уравнение становится 4-го порядка, поэтому я не стал следовать этому подходу. (По правде говоря, Mathematica может по-прежнему решать уравнения именно так.)

Сторона 2: Квантовая механика

То, как вы сформулировали вопрос в заголовке, сразу же напрашивается сравнение с двухуровневой квантовой системой. Хорошо изученной проблемой квантовой механики является то, что происходит, когда двухуровневая система возмущается периодическим во времени потенциалом. Более того, мы хотим знать, как ведет себя система, когда частота возбуждения близка к разности энергий двух уровней. Сравнивая ваш вопрос о движущей силе в$\omega_1-\omega_2$к проблеме квантовой механики может быть интересно, но я не буду пытаться здесь, так как это должно быть темой для другого вопроса.