У меня есть сомнения относительно угловой частоты гармонического осциллятора, когда задействовано демпфирование. Частота колебаний меняется со временем в случае демпфирования, но я нигде не встречал упоминания об этом. Я хотел бы найти, как угловая частота зависит от времени (я предполагаю, что должна быть какая-то функция или что-то в этом роде, где относится к коэффициенту демпфирования и относятся к частотам).
Я связался с Ландау и Тейлором; ни один из них, насколько я вижу, не обсуждает это явление (хотя, конечно, они говорят об уменьшении амплитуды и все такое).
Я почти уверен, что это явление уменьшения частоты со временем действительно имеет место (я быстро проверил с помощью гармонического генератора мешанины), так почему же никто не упоминает об этом?
Кто-нибудь может мне объяснить зависимость частоты от времени при наличии затухающих колебаний? Или, может быть, указать ресурсы, которые я мог бы проверить, которые говорят об этом?
(Неуправляемый) затухающий гармонический осциллятор (удовлетворяющий ) может быть решена решением (ами) . Для недодемпфированного осциллятора эти решения представляют собой чистые колебания, смешанные с экспоненциальным затуханием (/ ростом). Поскольку оба решения для колеблются с одинаковым периодом, все их комбинации также колеблются с одинаковым периодом.
Я полагаю, что ваше замешательство возникает из-за интуитивного представления о том, почему возвращающая сила приводит к периодическому движению. В случае незатухания траектории частицы в фазовом пространстве замкнуты (т.е. частица всегда возвращается в одно и то же положение(я)). В демпфированном случае траектории по спирали направлены в сторону покоя. Но оба эти движения являются периодическими в том смысле, что они достигают своих относительных экстремумов (и пересечения нуля) через определенный интервал времени. Как ты можешь это видеть? Возможно, вас может вдохновить незатухающий случай: обратите внимание, что период не зависит от размера орбиты. Поскольку уравнение является линейным, любое изменение амплитуды точно учитывается изменением силы. На самом деле всем линейным (однородным) ОДУ может удовлетворять указанный выше анстаз (т. е. решения периодические, затухающие или и то, и другое).
Затухание колебаний изменяет частоту двумя способами.
Больше нельзя сказать, что колебание имеет место на одной частоте, но охватывает непрерывное распределение частот, характеризующееся лоренцевским профилем с шириной, которая увеличивается с затуханием.
Во-вторых, пик этого распределения приходится на более низкую частоту, чем собственная частота системы, на величину, которая увеличивается с затуханием.
т.е. частота не зависит от времени.
Вышеизложенное относится к линейным осцилляторам, в которых условия восстанавливающей силы и демпфирования линейно зависят от смещения и скорости соответственно. В нелинейных осцилляторах все может быть иначе. Можно установить связь между частотой и амплитудой (и, следовательно, временем). например, маятник на самом деле имеет частоту, которая уменьшается с амплитудой и, следовательно, увеличивается со временем, поскольку амплитуда затухает. Вот анимация маятников большой и малой амплитуды , которая позволяет провести сравнение.
Этот простой маятник является примером ситуации «мягкой пружины», когда восстанавливающая сила становится меньше, чем экстраполяция линейной зависимости со смещением (или углом в случае маятника) при больших амплитудах. Чтобы получить частоту, которая уменьшается по мере демпфирования амплитуды, требуется «жесткая пружина» - например, пружина, в которой восстанавливающая сила изменяется как с . Эти нелинейные пружины часто называют осцилляторами Дуффинга .
предложение не может отказаться