Нахождение резонансной частоты вынужденных затухающих колебаний

Ваши уравнения кажутся правильными. Следует учитывать три типа частот:

• $\omega_0$– частота незатухающих колебаний, т.е. при$b = 0$, она же собственная частота
• $\omega_d$– частота затухающих колебаний, т.е. при$0<b<2m\omega_0$
• $\omega_r$это частота, при которой усиление системы максимально, она же резонансная частота.

Резонансная частота не равна собственной частоте, за исключением незатухающих генераторов, которые существуют только теоретически. Вот физическое (интуитивное) объяснение:

https://физика.stackexchange.com/a/353061/149541

Однако для генераторов с высокой добротностью резонансная частота равна собственной частоте$\omega_r \approx \omega_0$, как я покажу здесь.

---

Дифференциальное уравнение вынужденно-затухающего осциллятора:

$$m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = u$$

где$m$масса объекта и$b$- коэффициент демпфирования. Это системное уравнение также часто записывают в следующем виде:

$$\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{1}{m} u$$

где

$$\gamma = \frac{b}{m} \quad \text{and} \quad \omega_0^2 = \frac{k}{m}$$

Коэффициент качества - это безразмерное число, которое описывает, насколько недодемпфирован осциллятор. Чем выше число, тем медленнее затухает амплитуда колебаний:

$$Q = \frac{\omega_0}{\gamma}$$

Передаточная функция системы:

$$G(s) = \frac{1}{m} \frac{1}{s^2 + \gamma s + \omega_0^2} = \frac{1}{m \omega_d} \frac{\omega_d}{(s+\sigma)^2 + \omega_d^2}$$

где

$$\sigma = \frac{\gamma}{2} \quad \text{and} \quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \sigma^2} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}$$

Система недостаточно демпфирована , когда$\omega_0^2 - \sigma^2 > 0$, т.е. когда$b < 2 m \omega_0$. При выполнении этого условия система колеблется с амплитудой, затухающей со временем. Также обратите внимание на влияние коэффициента качества на систему — чем выше$Q$, колебания менее затухают, а частота$\omega_d$ближе к$\omega_0$, где$Q > \frac{1}{2}$.

Ответ на любой вход в области Лапласа$X(s) = G(s) U(s)$. Когда входной сигнал импульсный$u(t) = \delta(t) \leftrightarrow U(s) = 1$, то соответствующий отклик ( импульсный отклик ) равен

$$x(t) = \frac{1}{m\omega_d} e^{-\sigma t} \sin(\omega_d t), \qquad t \geq 0$$

Отсюда понятно, что делает каждый параметр:$\omega_d$– частота затухающих колебаний и$\sigma$– скорость затухания амплитуды колебаний.

Нам нужно найти передаточную функцию в комплексном представлении:

$$G(j\omega) = \Bigl. G(s) \Bigr|_{s = j\omega} = \frac{1}{m} \frac{1}{(-\omega^2 + \sigma^2 + \omega_d^2) + j(2\sigma\omega)}$$

Выигрыш системы определяется как

$$A(\omega) = \left| G(j\omega) \right| = \frac{1}{m} \frac{1}{\sqrt{(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)^2 + (2\sigma\omega)^2}}$$

Максимальный коэффициент усиления по частоте можно найти из

$$\frac{d}{d\omega} A(w) = -\frac{1}{2m} \frac{2(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)2\omega + 2(2\sigma\omega)2\sigma}{\Bigl(\sqrt{(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)^2 + (2\sigma\omega)^2}\Bigr)^3} = 0$$

Решение получается из

$$2(\omega^2 - \sigma^2 - \omega_d^2)2\omega + 2(2\sigma\omega)2\sigma = 0$$

$$\omega^2 = \omega_d^2 - \sigma^2 = \omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2}$$

Таким образом, коэффициент усиления системы максимален для

$$\omega_r = \sqrt{\omega_d^2 - \sigma^2} = \sqrt{\omega_0^2 - \frac{\gamma^2}{2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \frac{1}{2 Q^2}}$$

Резонансная частота равна$\omega_0$для высокодобротных генераторов. Например, для$Q = 10$резонансная частота$\omega_r = 0.9975 \cdot \omega_0$.

Коэффициент усиления системы на резонансной частоте равен

$$\Bigl. A(w) \Bigr|_{\omega=\omega_r} = \frac{1}{m} \frac{1}{2\sigma \omega_d} = \frac{1}{k} \frac{Q}{\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}}$$

Усиление системы пропорционально добротности.

Резонансная частота, которую люди определяют как$\omega_0$это не частота с максимальным колебанием, https://youtu.be/Y_DmzZcQR7A Уолтер Левин объясняет это в 20:00

$\omega_{max}$является.