Собственные и резонансные частоты затухающего генератора

Question

Собственные и резонансные частоты затухающего генератора

ПК-спаниель

Уравнение затухающего осциллятора:

м \ddot{Икс} + б \dot{Икс} + к Икс "=" 0

$\begin{equation} m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0 \end{equation}$

И его решение имеет собственную частоту $\omega_0$

ю_{0} "=" \sqrt{\frac{к}{м} - (\frac{б}{2 м})^{2}}

$\begin{equation} \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}-(\frac{b}{2m})^2} \end{equation}$

Однако если к уравнению добавить движущую силу

м \ddot{Икс} + б \dot{Икс} + к Икс "=" Д потому что (Ом т + ф)

$\begin{equation} m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=D\cos(\Omega t + \phi) \end{equation}$

резонансная частота $\Omega=\omega_R$ которая максимизирует амплитуду

ю_{р} "=" \sqrt{\frac{к}{м} - 2 (\frac{б}{2 м})^{2}}

$\begin{equation} \omega_R=\sqrt{\frac{k}{m}-2(\frac{b}{2m})^2} \end{equation}$

Мне интересно, почему резонансная частота не является собственной частотой. Я прочитал эти формулы на странице википедии гармонического осциллятора.

Физик137

Наверное, вы что-то не так посчитали. Частота возбуждения, которая максимизирует амплитуду, является собственной частотой.

Сама

У тебя проблема с нотацией, твоё

ω_{0}

$\omega_0$ на самом деле

ω_{D}

$\omega_D$ , в литературе

ω_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}

$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ . При этом максимальная амплитуда действительно достигается на частоте

ω_{R}

$\omega_R$ , несколько меньше, чем

ω_{0}

$\omega_0$ , это результат расчетов, я не знаю, есть ли для этого внутренняя физическая причина. Однако в большинстве случаев, представляющих практический интерес, разница между

ω_{R}

$\omega_R$ и

ω_{0}

$\omega_0$ (как видите) пренебрежимо мал.

Физик137

@ Сама, я так не думаю. Собственная частота этого осциллятора равна OP.

ω_{0}

$\omega_0$ . Написано, что... Конечно, он использовал обозначения, отличные от обычных, но это не имеет значения. Однако то, что он называет резонансной частотой, явно ошибочно. Должен быть

ω_{R} = ω_{0}

$\omega_R = \omega_0$ , а не то, что он заявил.

Qмеханик

Связано: physics.stackexchange.com/q/153197/2451 , physics.stackexchange.com/q/228279/2451 и ссылки в них.

Ответы (2)

Собственные и резонансные частоты затухающего генератора

Наверное, вы что-то не так посчитали. Частота возбуждения, которая максимизирует амплитуду, является собственной частотой.
У тебя проблема с нотацией, твоё $\omega_0$ на самом деле $\omega_D$ , в литературе $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ . При этом максимальная амплитуда действительно достигается на частоте $\omega_R$ , несколько меньше, чем $\omega_0$ , это результат расчетов, я не знаю, есть ли для этого внутренняя физическая причина. Однако в большинстве случаев, представляющих практический интерес, разница между $\omega_R$ и $\omega_0$ (как видите) пренебрежимо мал.
@ Сама, я так не думаю. Собственная частота этого осциллятора равна OP. $\omega_0$ . Написано, что... Конечно, он использовал обозначения, отличные от обычных, но это не имеет значения. Однако то, что он называет резонансной частотой, явно ошибочно. Должен быть $\omega_R = \omega_0$ , а не то, что он заявил.
Связано: physics.stackexchange.com/q/153197/2451 , physics.stackexchange.com/q/228279/2451 и ссылки в них.

Флорис · Answer 1

Разница незначительна - и действительно имеет значение только для "несколько демпфированных" систем (где $\zeta$ "не очень маленький" по сравнению с 1).

Ключевым здесь является то, что максимальная АМПЛИТУДА не достигается на той же частоте, что и максимальная РАССЕИВАЕМАЯ МОЩНОСТЬ. Для первого вы хотели бы, чтобы частота была немного ниже (потому что вы рассеиваете определенное количество энергии за цикл). Для последнего вам нужно, чтобы движущая сила была точно в квадратуре со скоростью. Но это дает более высокое рассеивание мощности и меньшую амплитуду (вспомните также, что на более высоких частотах скорость увеличивается, и поэтому у вас больше рассеивание при той же амплитуде).

Это интуитивное объяснение. В качестве альтернативы можно было бы просто сказать: «Так работает математика»...

Тем не менее, частота, при которой кинетическая энергия достигает максимума, является собственной частотой генератора без демпфирования. Что сильно отличается от частоты, вставленной туда ОП.
Вопрос был не в том, чтобы «максимизировать кинетическую энергию», а в том, чтобы «максимизировать амплитуду». Поскольку кинетическая энергия зависит как от частоты, так и от амплитуды, эти два значения не будут одинаковыми.
Тогда что-то не так. Частота, при которой максимизируется амплитуда, является собственной частотой... Или нет?
@Physicist137 это не так. Смотрите мой комментарий к ОП.
Ах. Я понимаю. Спасибо @Сама. Однако резонансной частотой для максимизации амплитуды является собственная частота. Я думаю, что этот ответ был бы правильным, если бы в нем говорилось, что он объясняет отличие резонансной частоты от собственной частоты без демпфирования . Но тогда это не то, о чем спрашивал ОП.

МСЖ · Answer 2

См. https://en.wikipedia.org/wiki/Resonance . Он показывает, что резонанс в демпфированной системе отклоняется от точки, в которой Forced w/Natural w = 1 Действительно, резонанс возникает, когда Forced w/Damped w = 1, где, например, для базовая выходная система Damped w = [1-квадрат (коэффициент демпфирования)] ^ 0,5 * Natural w

Добро пожаловать в физику! Обратите внимание, что на нашем сайте есть встроенный редактор уравнений , который помогает улучшить читабельность вашего сообщения.

Собственные и резонансные частоты затухающего генератора

ПК-спаниель

Физик137

Сама

Физик137

Qмеханик

Ответы (2)

Флорис

Физик137

Флорис

Физик137

Сама

Физик137

МСЖ

Кайл Канос

Нахождение резонансной частоты вынужденных затухающих колебаний

Можно ли возбудить связанные маятники на разнице частот?

Почему возникает резонанс? [закрыто]

Может ли собственная частота создаваться затухающими колебаниями?

Где в природе встречаются чистые тона, кроме гармоник?

Каковы правила разбивания стакана голосом?

Зависит ли угловая частота от времени в затухающем гармоническом движении?

Частота собственного резонанса микросхемных катушек индуктивности

Есть ли резонансная частота для самого эфира?

Имеет ли тело человека резонансную частоту? Если да, то насколько сильно?