Мяч скатывается в чашу - где его максимальная КЭ (скорость)... при наличии трения. См. схему

без трения это очевидно

Кинетическая энергия + Потенциальная энергия = Постоянная

таким образом, максимальное значение KE находится в самом низком значении PE или в точке C.

При трении, вызывающем качение, полная кинетическая энергия остается постоянной, поскольку мяч катится. Только при скольжении энергия рассеивается. Единственный раз, когда он проскальзывает, будет изначально (до точки B ). После этого и ближе к низу вы находитесь в чистом движении, и поэтому ответ по-прежнему точка C.

При прокатке на круглой чаше КЭ составляет$K=\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m \left(\omega r \right)^2 = m g (H-y)$, а PE$P=\frac{1}{2} m g y$поскольку падающий катящийся шар имеет профиль скорости

что является результатом уравнений движения

и$y = H + H \sin \left(\frac{r}{H} \theta \right)$с$y$высота мяча и$\theta$его вращение. Первоначально, когда$\theta=0$позиция$y=H$с$y=0$в точке С.

без конкретных значений высоты АВ и ВС и коэффициента трения покоя, угла наклона, это все догадки и предположения.

чтобы сфера в точке C имела более низкий общий KE, чем в точке B, это требует замедления после точки B, т. е. трение ДОЛЖНО равняться или превышать силу тяжести на этом склоне (вот почему угол наклона является ключевым). если это условие не выполняется, мяч будет продолжать ускоряться либо за счет скольжения, либо за счет качения из-за того, что высота BC отлична от нуля - даже незначительное ускорение окончательно увеличивает общее значение KE сферы по сравнению с величиной в точке B.

Без учета вращательного КЭ.

в катящейся сфере 40% от общего КЭ приходится на вращение (всегда верно) — используя следующие уравнения:

Момент инерции,$I_{sphere}$"="$\frac{2}{3}mr^2$

Вращательный КЭ =$\frac{1}{2}I\omega^2$"="$\frac{1}{2}\frac{2}{3}mr^2\frac{v^2}{r^2}$, где v — линейная скорость на окружности

"="$\frac{1}{3} mv^2$

Трансляционный КЭ =$\frac{1}{2}mv^2$

если мы предположим, что мяч скользит от A к B и начинает катиться только после B, и мы понимаем, что вопрос имеет в виду только поступательное KE (неразумное ИМХО), это составляет только 40% потерь из-за технических особенностей. прирост KE от B до C уменьшается на 40%, плюс дополнительный начисленный процент за счет паразитных потерь. если предположить, что процент паразитных потерь одинаков во всех точках, то$\frac{BC}{AC}<0.4.$удовлетворяет условию, согласно которому дополнительное падение из B в C не увеличивает КЕ мяча в достаточной степени для учета потери на вращение, т. е. мяч в С имеет более низкую КЕ, чем в В.

Для своего ответа я делаю следующие предположения: 1. Чаша/каньон сферическая и очень мелкая 2. Сила трения не зависит от вращения.

Приравнивая все силы таким образом:

где$\theta$угол между вертикальной осью и линией, соединяющей центр сферической чаши и шара. a = ускорение, v = скорость, c = зависящий от скорости коэффициент трения. Если$l$- радиус сферической чаши, уравнение сводится к:

Приведенное выше дифференциальное уравнение неразрешимо, поэтому сделайте приближение и возьмите ряд Тейлора синусоидального члена. Поскольку чаша неглубокая, подойдет только первый порядок из ряда Тейлора. (Дифференциальное уравнение все еще неразрешимо для более высоких порядков). Таким образом, DE становится:

Который представляет собой не что иное, как затухающий гармонический осциллятор с жесткостью пружины.

Поскольку мяч пересекает самую нижнюю точку, он, вероятно, теряет энергию; возвращается в самую нижнюю точку; колеблется вокруг него и в конце концов останавливается. И, следовательно, можно с уверенностью предположить, что это недодемпфированный осциллятор. Любой график для x для DHO покажет вам, что максимальная скорость достигается между временем = 0 и моментом, когда осциллятор достигает точки равновесия (точки, вокруг которой он колеблется) в первый раз. Поскольку в этом случае точкой равновесия является самая нижняя точка, максимальная скорость (KE) достигается до этой точки. Таким образом, ответ (с этими предположениями) будет B.

От A до B происходит максимальное изменение потенциальной энергии, эта энергия преобразуется в кинетическую энергию (как вращательную, так и поступательную), однако некоторая энергия также теряется в виде тепла из-за трения, но наклон велик по величине, можно с уверенностью предположить, что нормальная сила будет очень мала и, следовательно, рассеиваемая энергия не будет очень большой.

Теперь, от B до C, нет очень большого изменения высоты, поэтому определенно не так много KE приобретается во время этого путешествия, однако из-за его очень небольшого наклона нормальная сила большой величины, что приведет к большому рассеиванию энергии. .

$\Delta PE = mgh$
$W_{frictional} = mgcos(\theta)d$

Предполагая, что путешествие из B в C в значительной степени прямолинейно, теперь, поскольку$\theta$очень маленький$cos(\theta)$будет около 1, следовательно$cos(\theta)d$будет больше, чем$h$потому что ясно, что d намного больше, чем h. Поскольку больше энергии теряется в виде тепла из-за трения, чем приобретается за счет изменения$PE$мы утверждаем, что ** точка B** имеет максимальное значение KE.