Физическая цепная задача

Концептуальная проблема, по-видимому,

однако невозможно определить трение веревки, поскольку она состоит из двух частей с явно разными потенциальными энергиями.

Не беспокойтесь о «отличных потенциальных энергиях». Можно просто вычислить прирост потенциальной энергии для каждой детали отдельно. Для удила, уже висящего вниз, по мере того, как веревка скользит на определенное расстояние, центр масс перемещается на то же самое расстояние. Для куска веревки, который начинается горизонтально, когда последняя часть пересекает край, его центр масс смещается на половину расстояния.

Остается вычислить работу трения. Если рассматривать свою цепь как поезд с множеством вагонов, то для каждого вагона в поезде можно считать работу, совершаемую за счет трения. Другими словами - для бесконечно малого элемента$d\ell$который начинается на расстоянии$x$от края сила трения$\mu \frac{d\ell}{L} m g$и проделанная работа$F \cdot x$.

Суммируя работу всех этих элементов, вы получите общую проделанную работу. Это простой интеграл.

В духе «домашнего задания, похожего на вопросы», я оставлю вам эти подсказки.

Да, можно использовать метод работы-энергии. Особые трудности, которые вы заметили, можно решить, рассмотрев цепь в 2 частях: часть, свисающая вниз (которая теряет PE, но не испытывает трения) и часть, остающаяся на столе (которая не теряет PE, но испытывает трение).

Предположим, что масса цепи$M$. В исходном положении ЦМ выступающего сечения равен$\frac{d}{8}$ниже стола. Раздел, оставшийся на столе,$0$ЧП. Таким образом, начальное PE цепочки относительно стола равно$-\frac14Mg(\frac{d}{8}) = -\frac{1}{32} Mgd$. Когда последнее звено цепи соскальзывает со стола, тогда ЦМ всей цепи равен$\frac{d}{2}$ниже таблицы, поэтому PE$-\frac12 Mgd$. Снижение PE является
$(\frac12-\frac{1}{32})Mgd = \frac{15}{32}Mgd.$

Когда цепь длиной y остается на столе, сила трения по ней равна$\frac15Mg\frac{y}{d}$где$\frac15$- коэффициент трения. Работа, совершенная против трения, равна
$\int \frac15 Mg\frac{y}{d}dy = \frac15 Mg[\frac{1}{2d}y^2] = \frac{9}{160}Mgd$
откуда пределы интегрирования$y=\frac34d$к$0$.

Таким образом, КЭ цепи, когда последнее звено соскальзывает со стола, равно
$\frac12MV^2 = (\frac{15}{32}-\frac{9}{160})Mgd$
$V^2=\frac{33}{40}gd$
где V — скорость в этой точке.

В качестве альтернативы вы можете применить 2-й закон Ньютона:
$F = M\frac{dv}{dt} = M\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dt} = -Mv\frac{dv}{dy}$.

Когда длина y остается на столе, сила, ускоряющая цепь, равна$Mg\frac{d-y}{d}$, а тормозящая движение сила трения равна$\frac15Mg\frac{y}{d}$.

Уравнение движения
$-Mv\frac{dv}{dy} = Mg(1-\frac{y}{d}) - \frac15Mg\frac{y}{d} = (1-\frac65\frac{y}{d})Mg$
$2v\frac{dv}{dy} = (2\frac65\frac{y}{d}-2)g$
$v^2 = (\frac65\frac{y^2}{d}-2y)g$.

Пределы интегрирования$v=0$к$V$и$y=\frac34d$к$0$. Так$V^2 = (\frac65(0-\frac{9}{16}d)-2(0-\frac34d))g = \frac{33}{40}gd$.