Общая волновая функция и уравнение Шрёдингера

Question

Общая волновая функция и уравнение Шрёдингера

карлакан

Я начинаю с квантовой механики, и книга, которую я читаю (Гриффитс), впервые вводит волновую функцию как плотность вероятности положения одиночной частицы с нулевым спином. Позже я понял, что существует более широкая картина: состояние системы может быть выражено как суперпозиция, которая представляет собой линейную комбинацию векторов определенного базиса (в зависимости от выбранной нами наблюдаемой) с ( может быть непрерывным) набор коэффициентов, которые являются амплитудами вероятности собственных значений. Если выбранная наблюдаемая оказывается позицией, мы получаем волновую функцию.

Итак, теперь мне интересно следующее: является ли это определением волновой функции или существует волновая функция для каждой наблюдаемой, поскольку эта волновая функция является просто отображением возможных значений наблюдаемых в их вероятностные амплитуды?

Если да, то всегда ли зависимость этой волновой функции от времени ограничивается уравнением Шредингера? Например, предположим, что в случае двумерной системы с собственными состояниями |0> и |1> для некоторой наблюдаемой с соответствующими собственными числами 0 и 1. Мы имеем наложенное состояние f(0,t)|0> + f(1,t)|1>, где f(состояние, время) — это «волновая функция», которая присваивает амплитуду вероятности каждому собственному состоянию. Должна ли эта функция f удовлетворять уравнению Шредингера или другим ограничениям?

Ответы (2)

Общая волновая функция и уравнение Шрёдингера

Лайонелбритс · Answer 1

На самом деле существует одна волновая функция, которая охватывает все совместимые наблюдаемые, и ее временная эволюция определяется уравнением Шредингера с некоторым гамильтонианом. Но часто некоторые наблюдаемые не сильно взаимодействуют, поэтому вы можете просто рассматривать их как систему изолированно. Вы можете представить гамильтониан как матрицу, действующую на некоторое векторное пространство, и если эта матрица блочно-диагональна или приблизительно такова в некотором базисе, то существуют подпространства, эволюцию которых мы можем рассматривать отдельно, при условии, что они не запутаны.

Стэн Лю · Answer 2

Итак, теперь мне интересно следующее: является ли это определением волновой функции или существует волновая функция для каждой наблюдаемой, поскольку эта волновая функция является просто отображением возможных значений наблюдаемых в их вероятностные амплитуды?

Для каждой наблюдаемой действительно существует волновая функция. Штат $|\psi\rangle$ является вектором в комплексном гильбертовом пространстве. Волновая функция состоит из своих компонентов вдоль собственных состояний некоторой произвольной наблюдаемой $\hat A$ :

ψ (а) "=" ⟨ а | ψ ⟩,

$\psi(a) = \langle a|\psi\rangle\text{,}$ где

a

$a$ является собственным значением

\hat{A}

$\hat{A}$ и

| a ⟩

$|a\rangle$ является соответствующим собственным вектором. В позиционном пространстве собственные векторы оператора положения

\hat{x}

$\hat{x}$ выглядят как дельты Дирака, так что это, очевидно, верно для обычной волновой функции в позиционном пространстве уже из определения скалярного произведения. Однако представление о них как о дельтах Дирака скрывает тот факт, что в позиционном операторе нет ничего особенного по своей сути, и на самом деле подойдет любой, хотя в случае вырождения следует проявлять немного больше осторожности.

Заметить, что $\psi^*(a)\psi(a) = \langle\psi|a\rangle\langle a|\psi\rangle$ , где $|a\rangle\langle a|$ является оператором проектирования на соответствующее собственное пространство. Именно об этом говорит правило Борна.

Например, мы могли бы использовать волновую функцию импульсного пространства $\phi(p) = \langle p|\psi\rangle$ , просто чтобы использовать другой символ, и это будет связано с волновой функцией позиционного пространства $\psi(x) = \langle x|\psi\rangle$ к:

\begin{array}{rcl} Φ (п, т) & "=" & \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} е^{- я п Икс / ℏ} Ψ (Икс, т) д Икс \\ Ψ (Икс, т) & "=" & \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} е^{+ я п Икс / ℏ} Φ (п, т) д п \end{array}

$\begin{eqnarray*} \Phi(p,t) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty e^{-ipx/\hbar}\Psi(x,t)\,\mathrm{d}x\\ \Psi(x,t) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty e^{+ipx/\hbar}\Phi(p,t)\,\mathrm{d}p \end{eqnarray*}$ т. е. преобразования Фурье; ср. Глава 3 Гриффита. Вы можете думать о первом как о вычислении скалярного произведения с собственным состоянием импульса в базисе положения, а о последнем как о вычислении внутреннего произведения с собственным состоянием положения в базисе импульса.

Если да, то всегда ли зависимость этой волновой функции от времени ограничивается уравнением Шредингера?

Эволюция во времени задается уравнением Шредингера, да. Гамильтониан является оператором и, следовательно, не привязан к какому-либо конкретному базису. Конечно, с точки зрения практичности, на одних базах работать приятнее, чем на других.

На самом деле, хотя Гриффитс не подчеркивает этого, когда вы решаете уравнение Шредингера в ситуациях, обычно встречающихся в этой книге, вы обычно получаете состояние, записанное в терминах собственных состояний энергии, и, следовательно, вы записываете его « представление энергии-пространства. Это точно так же, как и выше, с наблюдаемым, являющимся самим гамильтонианом.

Однако я не понял этого: «Вы можете думать о первом как о внутреннем произведении с собственным состоянием импульса в базисе положения, а о последнем как о внутреннем произведении с собственным состоянием положения в базисе импульса». Не могли бы вы (или кто-нибудь другой) объяснить это немного подробнее? Внутренний продукт чего?

В контексте презентации Гриффитса помните, что он определяет внутренний продукт двух функций позиционного пространства

⟨ ф (Икс) | г (Икс) ⟩ "=" \int_{Д} ф (Икс)^{*} г (Икс) д Икс,

$\langle f(x)|g(x)\rangle = \int_D f(x)^*g(x)\,\mathrm{d}x\text{,}$ где

D

$D$ является доменом. Таким образом, вы можете найти собственные функции оператора импульса и (скажем)

D = (- \infty, + \infty)

$D = (-\infty,+\infty)$ :

\begin{array}{rcl} \hat{п} Ф_{п} (Икс) "=" - я ℏ \frac{д Ф_{п} (Икс)}{д Икс} "=" п Ф_{п} (Икс) & ⟺ & Ф_{п} (Икс) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{+ я п Икс / ℏ} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \hat{p} F_p(x) = -i\hbar\frac{\mathrm{d}F_p(x)}{\mathrm{d}x} = pF_p(x) &\Longleftrightarrow& F_p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{+ipx/\hbar}\text{.}\end{eqnarray*}$ Таким образом, вы можете видеть, что первое из приведенных выше преобразований Фурье просто выполняет скалярное произведение

Φ (п, т) "=" ⟨ Ф_{п} (Икс) | Ψ (Икс, т) ⟩

$\Phi(p,t) = \langle F_p(x)|\Psi(x,t)\rangle$ собственной функции импульса с обычной волновой функцией в пространстве положений

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ . Другими словами, это внутренний продукт собственного состояния импульса.

F_{p} (x)

$F_p(x)$ и волновая функция

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ , причем оба написаны в позиционном пространстве.

Другое преобразование Фурье прямо противоположное: записанное в терминах импульса, $\hat{x} = +i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}p}$ а собственные функции положения

\begin{array}{rcl} \hat{Икс} г_{Икс} (п) "=" Икс г_{Икс} (п) & ⟺ & г_{Икс} (п) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} е^{- я п Икс / ℏ} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \hat{x}G_x(p) = xG_x(p) &\Longleftrightarrow& G_x(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-ipx/\hbar}\text{.}\end{eqnarray*}$

В определении внутреннего продукта в пространстве позиций нет ничего особенного, за исключением того, что иногда это удобно. Внутренний продукт работает так же, как и выше, в любом ортонормированном базисе. Вероятно, стоит вернуться к евклидовой аналогии: если вы находитесь в $\mathrm{E}^n$ с некоторым ортонормированным базисом $\{\hat{e}_k\}$ , вы можете написать любой вектор $\hat\psi$ как с точки зрения его компонентов в этой основе с использованием скалярного произведения:

\begin{array}{rcl} \hat{ψ} "=" \sum_{к} {\hat{е}}_{к} ({\hat{е}}_{к} \cdot \hat{ψ}) & ⇝ & | ψ ⟩ "=" \sum_{к} | к ⟩ ⟨ к | ψ ⟩ "=" \sum_{к} ψ (к) | к ⟩, \end{array}

$\begin{eqnarray*}\hat\psi = \sum_k \hat{e}_k(\hat{e}_k\cdot\hat\psi) &\leadsto& |\psi\rangle = \sum_k |k\rangle\langle k|\psi\rangle = \sum_k \psi(k) |k\rangle\text{,}\end{eqnarray*}$ где

{| k ⟩}

$\{|k\rangle\}$ есть некоторый ортонормированный базис в нашем гильбертовом пространстве. Таким образом, внутренний продукт двух состояний равен:

⟨ ψ | ф ⟩ "=" \sum_{к} ⟨ ψ | к ⟩ ⟨ к | ф ⟩ "=" \sum_{к} ψ (к)^{*} ф (к) .

$\langle\psi|\phi\rangle = \sum_k\langle\psi|k\rangle\langle k|\phi\rangle = \sum_k \psi(k)^*\phi(k)\text{.}$ Интеграл вместо этого, где это уместно. Хотя вы должны быть осторожны, чтобы убедиться, что вы охватываете все гильбертово пространство, если вы делаете внутренний продукт, используя собственные состояния некоторой наблюдаемой (четное положение, например, частица со спином).

Есть, конечно, гамильтонианы, зависящие от времени, но я считаю, что это когда есть открытая система. Энергетическая основа по-прежнему удобна, но они становятся зависимыми от времени, как и амплитуды.
@carllacan: мы можем добавить, что $\psi(a) = \langle a|\psi\rangle$ , это просто амплитуда вероятности найти $a$ , при измерении наблюдаемого $A$ в системе $|\psi\rangle$ . И $|\psi(a)|^2 = \langle\psi|a\rangle\langle a|\psi\rangle$ , это просто вероятность найти $a$ , при измерении наблюдаемого $A$ в системе $|\psi\rangle$ . Слово «волновая функция» используется, когда $A$ оператор позиции $X$ или оператор импульса $P$ , но это только частный случай амплитуды вероятности, поэтому лучше говорить об амплитуде вероятности и отказаться от слова "волновая функция"...
Спасибо за ваши ответы. Однако я не понял этого: «Вы можете думать о первом как о внутреннем произведении с собственным состоянием импульса в базисе положения, а о последнем как о внутреннем произведении с собственным состоянием положения в базисе импульса». Не могли бы вы (или кто-нибудь другой) объяснить это немного подробнее? Внутренний продукт чего? PD: Trimok, может быть, вы написали system вместо state?
@carllacan: Да, обычное название - штат.

Общая волновая функция и уравнение Шрёдингера

карлакан

Ответы (2)

Лайонелбритс

Стэн Лю

Лайонелбритс

Тримок

карлакан

Тримок

Почему ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx - \omega t)} является действительной волновой функцией, поскольку она не является конечно интегрируемой на RR\Bbb R?

Рассеяние против связанных состояний

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Полнота собственных функций энергии

Что квантовое состояние системы говорит нам о самом себе?

Гильбертово пространство в представлении Дирака

Нормализация волновой функции свободной частицы

Есть ли в гильбертовом пространстве состояния, не являющиеся решениями гамильтониана?

Наблюдаемый оператор на суперпозиции?