Нахождение основного состояния гамильтониана торического кода

The $A$операторы и$B$все s коммутируют друг с другом, потому что они всегда имеют четное число узлов и, следовательно, четное число матриц Паули. Следовательно, все эти величины являются сохраняющимися величинами и могут быть заменены их математическим ожиданием. Основное состояние - это состояние с собственными значениями$A = 1 = B$в единицах, где$\sigma$является матрицей Паули.

С точки зрения спинов ситуация чуть менее тривиальна. Рассмотрим конфигурации, удовлетворяющие ограничению$B = 1$, работающий в z-основе. Это требует, чтобы спины имели четное количество вращений вверх и четное количество падений (все вверх, все вниз или два и два). Однако, если попытаться сделать пару вращений вверх, то обнаружится, что на соседних звездах (крестах) потребуется еще одно перевернутое вращение, и поэтому единственными возможными конфигурациями являются те, в которых нисходящие вращения образуют замкнутые петли на фоне восходящих. спины или (эквивалентно) наоборот. Следовательно, основное состояние должно быть некоторой суперпозицией этих состояний с петлями в них.

Теперь рассмотрим ограничение$A=1$. Письмо$\sigma^x$в$z$базис дает понять, что оператор переворачивает спин (это также можно понимать как результат антикоммутации$\sigma^z$и$\sigma^x$). Поэтому,$A$переворачивает спины на плакетке. Как и ожидалось, это приводит нас к другому состоянию, которое подчиняется$B=1$ограничение; возбуждение можно рассматривать как небольшую петлю вращений вверх. Более того, мы можем действовать с другим$A$рядом и сделайте петлю больше, и таким образом создайте петли любого размера и формы, действуя с$A$операторы.

Основное состояние$|\psi_0\rangle$торического кода есть равновесовая (по модулю и фазе) суперпозиция всех петлевых конфигураций спин-даунов на фоне спин-апов. Его можно назвать квантовым петлевым газом. Легко видеть, что это подчиняется первому ограничению, потому что каждая конфигурация петли сама по себе имеет$B=1$. С другой стороны, когда человек действует с$A_p$каждая конфигурация цикла меняется на другую. Однако легко доказать, что это основное состояние, так как для данного$A_p$это просто меняет местами две конфигурации петель, которые одинаковы везде, кроме плакетки p, и имеют противоположные спиновые конфигурации на p. Обе эти конфигурации являются частью суммы с одинаковым весом, так что это действие оставляет состояние неизменным. Поэтому$A|\psi_0\rangle = |\psi_0\rangle$и$A=1$.

Наконец, отметим, что даже видно, что при открытых граничных условиях это состояние единственно. Это связано с тем, что состояние должно состоять из конфигураций цикла и, следовательно, является некоторой их суперпозицией (по$B=1$ограничение). Но различные конфигурации петель можно получить из состояния без петель, действуя произведением$A$операторы создают петли, по одной плакетке за раз. Следовательно, все разные конфигурации должны иметь тот же коэффициент, что и конфигурация без цикла, поскольку действие произведения$A$s не может изменить состояние (у него также есть собственное значение 1, так как у каждого из его членов есть) и он меняет эти две конфигурации местами. Однако на цилиндре (или торе) есть петли, которые не могут быть созданы произведениями локальных$A$операторы - это петли, которые наматывают круговое измерение. Следовательно, в этих случаях существует вырождение основного состояния, соответствующее количеству конфигураций, доступных для неограниченных петель.