Источник: Квантовая теория поля для одаренных любителей Тома Ланкастера, Стивена Дж. Бланделла.

Я изо всех сил пытаюсь понять логический шаг от схемы «доказательства» в сноске к тому факту, что плотность вероятности должна выглядеть как уравнение. 6.12. Может ли кто-нибудь предоставить дополнительный текст, который более ясно описывает это? Более того, я также нахожу происхождение своего вторичного источника на уровне выше меня.

6.2 Токи и плотности вероятности

Одна из причин, по которой Шрёдингеру не нравилось уравнение Клейна-Гордона после того, как он его вывел, заключалась в том, что, когда вы думаете о потоке плотности вероятности, происходит что-то довольно неприятное. Вероятность нахождения частицы где-либо зависит от$\phi^{*}(x)\phi(x)$и поэтому, если эта величина зависит от времени, то частицы должны плескаться. Плотность вероятности$\rho$плотность тока вероятности ⁵ $\boldsymbol{j}$подчиняются уравнению неразрывности

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm d\rho}{\mathrm dt}+\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{j}=0, \tag{6.9}\label{6.9} \end{equation}$$ что легче записать в четырехвекторной записи как $$\begin{equation} \partial_{\mu}j^{\mu}=0. \tag{6.10}\label{6.10} \end{equation}$$ Если, как это принято в нерелятивистской квантовой механике, ⁶ принять пространственную часть за $$\begin{equation} \boldsymbol{j}(x)=-\mathrm i\left[\phi^{*}(x)\boldsymbol{\nabla}\phi(x)-\phi(x)\boldsymbol{\nabla}\phi^{*}(x)\right], \tag{6.11}\label{6.11} \end{equation}$$ тогда, чтобы уравнение 6.10 работало, ⁷ мы требуем, чтобы плотность вероятности выглядела как ⁸ $$\begin{equation} \rho(x)\boldsymbol{=}\mathrm i\left[\phi^{*}(x)\dfrac{\partial\phi(x)}{\partial t}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial\phi^{*}(x)}{\partial t}\phi(x)\right]. \tag{6.12}\label{6.12} \end{equation}$$ Результирующий ток ковариантной вероятности для уравнения Клейна – Гордона определяется выражением $$\begin{equation} j^{\mu}(x)=\mathrm i\{\phi^{*}(x)\partial^{\mu}\phi(x)-\left[\partial^{\mu}\phi^{*}(x)\right]\phi(x)\}, \tag{6.13}\label{6.13} \end{equation}$$ который, как следует из обозначений, является четырехвектором. Заменив в нашем [...]

---

^{$^7$Это сработает, и вы можете доказать это следующим образом. Возьмите уравнение Клейна-Гордона (уравнение 6.5) и предварительно умножьте его на$\phi^{*}(x)$. Затем возьмите комплексно-сопряженное уравнение 6.5 и предварительно умножьте на$\phi(x)$. Вычитание этих двух результатов даст уравнение вида (6.9) с$\boldsymbol{j}$и$\rho$как дано.}

Вторичный источник: Квантовая теория поля Льюиса Х. Райдера.

...где Шр$\ddot{\rm o}$использовалось уравнение Дингера и его комплексно-сопряженное уравнение. Каковы соответствующие выражения для уравнения Клейна-Гордона? Чтобы быть должным образом релятивистским,$\rho$должен, как в (2.18), преобразовываться не как скаляр, а как временная составляющая 4-вектора, пространственная составляющая которого равна$\mathbf{j}$, определяемый (2.19). Затем$\rho$дан кем-то

$$\begin{equation} \rho(x)=\dfrac{\mathrm i \hbar}{2m}\left(\phi^{*}\dfrac{\partial\phi}{\partial t}-\phi\dfrac{\partial\phi^{*}}{\partial t}\right) \tag{2.20}\label{2.20} \end{equation}$$ и с $$\begin{equation} j^{\mu}=\left(\rho,\mathbf{j}\right)=\dfrac{\mathrm i \hbar}{m}\phi^{*}\left(\overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}},\overset{\leftrightarrow}{\boldsymbol{\nabla}}\right)\phi =\dfrac{\mathrm i \hbar}{m}\phi^{*}\overset{\leftrightarrow}{\partial^{\mu}}\,\phi \tag{2.21}\label{2.21} \end{equation}$$ где $$\begin{equation} A\overset{\leftrightarrow}{\partial^{\mu}}B\stackrel{\text{def}}{=}\tfrac12\left[A\partial^{\mu}B\boldsymbol{-}(\partial^{\mu}A)B\right], \tag{2.22}\label{2.221} \end{equation}$$ и мы воспользовались (2.9), имеем уравнение неразрывности $$\begin{equation} \partial_{\mu}j^{\mu}=\dfrac{\mathrm i \hbar}{2m}\left(\phi^{*}\square \,\phi-\phi\,\square\,\phi^{*}\right)=0, \tag{2.23}\label{2.3} \end{equation}$$ с$\phi^{*}$также подчиняется уравнению Клейна-Гордона. Затем$\rho$и$\mathbf{j}$- плотность вероятности и ток, которые нам нужны. Но это сразу представляет проблему, потому что$\rho$, заданное уравнением (2.20), в отличие от выражения (2.18) для...