Внутренний продукт Кляйна-Гордона: как сделать его реальным

Достраиваясь до построения внутреннего продукта, натыкаешься на следующее уравнение:

$$\begin{equation} \partial_i(\varphi_2^*(x)\overleftrightarrow{\partial^i}\varphi_1(x))=\partial_i(\varphi_2^*(x)\partial^i\varphi_1(x) - \varphi_1(x)\partial^i\varphi_2^*(x))=0 \end{equation}$$ В этот момент профессор определил 4-ток $J^i=i(\varphi_2^*(x)\overleftrightarrow{\partial^i}\varphi_1(x))$чтобы был закон сохранения $$\begin{equation} \partial_iJ^i=0 \end{equation}$$ Он заявил, что необходимо добавить мнимую единицу $i$к текущему, чтобы оно было реальным, даже когда $\varphi_1(x)=\varphi_2(x)$. Я не могу понять это последнее уточнение: не должно ли быть $J^i=0$когда $\varphi_1(x)=\varphi_2(x)$? Почему необходимо умножать мнимую единицу?