ЕслиК
является вектором Киллинга, он удовлетворяет
∇мюКν+∇νКмю= 0⟹∇мюКмю= 0 .
Еще одно свойство, которое нам понадобится, можно доказать, действуя на вышеприведенное уравнение с
∇ν
. Мы нашли
□Кмю= -∇ν∇мюКν= [∇мю,∇ν]Кν"="рνλ μ νКλ= -рмк νКν .
Теперь у нас есть
(∇мю∇мю−м2)Кν∇νф = □Кν∇νф + 2∇мюКν∇мю∇νф +Кν∇мю∇мю∇νϕ -м2Кν∇ν. _
Примечание
∇мюКν∇мю∇νф =12(∇мюКν+∇νКмю)∇мю∇νф = 0 ,
и
Кν∇мю∇мю∇νф"="Кν∇мю∇ν∇мюф"="Кν∇ν□ ф +Кν[∇мю,∇ν]∇мюф"="м2Кν∇νф +Кмюрмк ν∇мю. _
Сложив все это вместе, находим
(∇мю∇мю−м2)Кν∇νф= □Кν∇νф +м2Кν∇νф +Кмюрмк ν∇мюϕ -м2Кν∇νф= 0 .
КЭД.
Алекс Нельсон
Дэйвид