Нарушает ли эта волновая функция из книги Зеттили (Квантовая механика) принцип неопределенности?

Я не уверен, считается ли мой вопрос домашним заданием и упражнениями или нет, потому что я уже знаю ответ. Проблема в том, что я нахожу ответ Зеттили довольно неудовлетворительным.

Задача 1.11 (а) Найдите преобразование Фурье для$\phi(k)=A(a-|k|),~~|k|\leq a~$где$a$является положительным параметром и$A$— нормировочный коэффициент, который необходимо найти. (b) Рассчитайте неопределенности$\Delta x$и$\Delta p$и проверить, удовлетворяют ли они принципу неопределенности.

Существует множество способов расчета$\Delta x$из волновой функции. Его можно найти из$\phi(k)$или$\psi(x)$(волновая функция в позиционном пространстве) и т. д. Самый простой способ, на мой взгляд, получить его из$\phi(k)$. Обратите внимание, что$\psi (x)=\frac{4}{x^2}\sin^2\left(\frac{ax}{2}\right)$по Зеттили. Итак, в импульсном пространстве имеем:

$$\hat{x}=i\frac{d}{dk}~~~\text{and}~~~~\hat{x}^2=-\frac{d^2}{dk^2}$$ $$\langle x\rangle=\int_{-a}^{a}\phi(k)\hat{x} \phi(k)dk=i\left(\int_{-a}^{0}A^2(a+k)dk-\int_{0}^{a}A^2(a-k)dk\right)=0$$ $$\langle x^2\rangle=\int_{-a}^{a}\phi(k)\hat{x}^2 \phi(k)dk=0$$ $$\rightarrow \Delta x=\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}=0,$$ что явно нарушает принцип неопределенности. Я спросил об этом своего профессора университета, он сказал, что из-за разрыва волновой функции вы должны изменить$\hat{x}$так что: $$\hat{x}=-i\frac{d}{dk}, ~ -a\leq x <0$$ $$\hat{x}=i\frac{d}{dk}, ~~~~~~ 0\leq x <a$$ Но это дает мне комплексное число для среднего положения! В этом нет никакого смысла. Кроме того, можно показать, что среднее значение позиции в пространстве позиций также равно нулю.

$$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\hat{x} \psi(x)dx=0.$$

Все волновые функции действительны, поэтому я нигде не использовал комплексное сопряжение.

Это ответ Зеттили:

Теперь найдем ширину$\Delta x$из$\psi(x)$С$\sin(a\pi/2a)=1$,$\psi (\pi/a)=4/\pi^2$и$\psi(0)=a^2$мы можем получить$\psi (\pi/a)=4/\pi^2\psi (0)$или$\frac{\psi (\pi/a)}{\psi(0)}=\frac{4}{\pi^2}$Это говорит о том, что$\Delta x= \pi/a.$

Где я неправ?