Задача о доказательстве принципа неопределенности

ф и г две квадратично интегрируемые функции. Из неравенства Шварца, определения дисперсии и тождества комплексных чисел показано, что

( Δ А ) 2 ( Δ Б ) 2 "=" ⟨ ф | ф ⟩ ⟨ г | г ⟩   ≥   | ⟨ ф | г ⟩ | 2   ≥   [ ( ⟨ ф | г ⟩ − ⟨ г | ф ⟩ ) 2 я ] 2

Тогда доказательство гласит: используйте определение ф и г и нормализация Ψ чтобы убедиться, что

(Я) ⟨ ф | г >=< г | ф ⟩ * "=" ⟨ Ψ | А ^ Б ^ | Ψ ⟩ − ⟨ А ⟩ ⟨ Б ⟩

Что приводит к формуле:

( Δ А ) 2 ( Δ Б ) 2   ≥   1 4 | ⟨ Ψ | [ А ^ , Б ^ ] | Ψ ⟩ | 2

Я не получаю равенства в (I). Я также не понимаю обозначение слева. Кто-нибудь может помочь?

Доказательство взято из задачи 7.60 в квантовой механике Айры Левайн.

Я по ошибке использовал () вместо <>. Я обновил это. В (I) первый < и последний > должны быть больше, чем тот, что посередине с левой стороны, я не знаю, как напечатать это более четко, к сожалению
в принципе, принцип не нужно доказывать

Ответы (1)

Если ⟨ А ⟩ "=" ⟨ Ψ | А ^ | Ψ ⟩ существует и конечен. И ⟨ Б ⟩ "=" ⟨ Ψ | Б ^ | Ψ ⟩ существует и конечен. Тогда мы можем определить | ф ⟩ "=" А ^ | Ψ ⟩ − ⟨ А ⟩ | Ψ ⟩ и определить | г ⟩ "=" Б ^ | Ψ ⟩ − ⟨ Б ⟩ | Ψ ⟩ .

Если ф и г интегрируемы с квадратом, то вы можете вычислить интегралы от их квадратов (которые ⟨ ф | ф ⟩ и ⟨ г | г ⟩ соответственно). Упростив результаты, вы увидите, что они равны дисперсии А и Б соответственно. Затем вы можете комбинировать с Коши-Шварцем, чтобы получить:

( Δ А ) 2 ( Δ Б ) 2 "=" ⟨ ф | ф ⟩ ⟨ г | г ⟩   ≥   | ⟨ ф | г ⟩ | 2 .

Сейчас ⟨ ф | г ⟩ "=" ⟨ г | ф ⟩ * это просто обобщение а → ⋅ б → "=" б → ⋅ а → к комплексным векторам, где вместо того, чтобы быть симметричным, он является сопряженно-симметричным. Например, если ⟨ ф | г ⟩ "=" ∫ ф * г и ⟨ г | ф ⟩ "=" ∫ г * ф затем ⟨ ф | г ⟩ "=" ⟨ г | ф ⟩ * с:

∫ ф * г "=" ( ∫ ф * г ) * * "=" ( ∫ ( ф * г ) * ) * "=" ( ∫ ф * * г * ) * "=" ( ∫ г * ф ) * .

И чтобы получить правую часть, вы делаете те же трюки, что и показываете, что они равны дисперсии, выводя константы за пределы интегралов.

Не могли бы вы вывести и последнее равенство (I)? Спасибо!
@torgny Делать домашнее задание за вас — это нарушение правил. Я должен был предоставить достаточно деталей, чтобы вы сделали все остальное самостоятельно. Обращайтесь с операторами как с матрицами, с векторами как с векторами, протягивайте константы и вычисляйте части. Если бы вы могли показать часть дисперсии, вы должны были бы сделать эту часть. Возможно, вам понадобится использовать то, что операторы являются наблюдаемыми.
Задача о доказательстве принципа неопределенности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v